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第5课时 应用举例(二)
1.把握三角形面积公式.
2.结合正、余弦定理与三角恒等变换解决一些三角式子的化简求值与证明等问题.
重点:三角形面积公式的应用.
难点:正、余弦定理与三角恒等变换的交汇考查.
某市在“旧城改造”方案中,打算在如图所示的一块三角形空地上种植草皮,以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/平方米,则购买这种草皮需要多少元?
问题1:上述问题在计算时,需要计算三角形空地的面积,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则△ABC的面积为S= absin C = bcsin A = acsin B .
问题2:利用A+B+C=π及++=的关系,将下列式子用含C的三角函数表示:sin(A+B)= sin C ,cos(A+B)= -cos C ,tan(A+B)= -tan C ,sin = cos ,cos = sin .
问题3:在△ABC中,(1)若sin A>sin B,则边a,b的大小关系是 a>b ;(2)若cos A>cos B,则边a,b的大小关系是 a<b ;(3)若sin 2A=sin 2B,则△ABC是 直角 三角形或 等腰 三角形.
问题4:海伦公式是用来计算面积的,△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,依据海伦公式我们知道S= ,其中p=(a+b+c).
南宋时期的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了“三斜求积”公式,这个公式的形式虽与海伦公式不一样,但两者完全等价.秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.其主要的数学著作就是《数书九章》,其中的大衍求一术(一次同余方程组问题的解法,也就是现在所称的中国剩余定理)、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献.
1.在△ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边,若A=,b=1,△ABC的面积为,则a的值为( ).
A.1 B.2 C. D.
【解析】依据S=bcsin A=可得c=2,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A=3,故a=.
【答案】D
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==,则△ABC的外形是( ).
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】∵==,∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=,∴a=b或C=.又=,∴a≠b,则△ABC为直角三角形.
【答案】C
3.在△ABC中,已知a=2,A=30°,C=45°,则△ABC的面积为 .
【解析】依据正弦定理:c==2,又B=105°,
所以S=acsin B=×2×2sin 105°=+1.
【答案】+1
4.在△ABC中,tan A=,cos B=,若最长边为1,求△ABC的最短边的长.
【解析】由tan A>0,cos B>0知A、B均为锐角,
∵tan A=<1,∴0<A<,又cos B=>,
∴0<B<,∴C为最大角.
由条件知,sin A=,cos A=,sin B=,
∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,且sin A>sin B,即b为最短边,
由正弦定理知,=,∴b=.
三角恒等式的证明与求值
在△ABC中,三个角A、B、C所对边长分别为a=3、b=4、c=6,则bccos A+cacos B+abcos C的值为 .
【方法指导】利用余弦定理的推论将余弦值转化为边的形式,整理化简,再将三边长代入即可.
【解析】bccos A+cacos B+abcos C
=bc·+ca·+ab·
=(b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2)
=(a2+b2+c2)=.
【答案】
【小结】三角恒等变换求值时,对于边、角共存的式子,一般利用正、余弦定理或恒等变换公式将其转化为角或边的形式,再结合条件完成恒等式的证明或关系式的求值.
正、余弦定理与三角恒等变换的交汇考查
在△ABC中,BC=,AC=3,sin C=2sin A.
(1)求AB的值;
(2)求sin(2A-)的值.
【方法指导】(1)利用正弦定理求解;(2)利用余弦定理求出cos A,进而可得sin A的值,再依据差角公式和二倍角公式可解sin(2A-).
【解析】(1)在△ABC中,依据正弦定理有=,
∴AB=·BC=2BC=2.
(2)在△ABC中,依据余弦定理的推论,得cos A==,
∴sin A==,∴sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=cos2A-sin2A=,
∴sin(2A-)=sin 2Acos -cos 2Asin =.
【小结】三角恒等变换与正、余弦定理在高考中经常交汇毁灭.依据正、余弦定理可以计算内角的正、余弦值,再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中毁灭的三角函数值,恒等变换公式与正、余弦定理公式往往交替使用,具体的选择要结合条件及待求量机敏处理.
三角形的面积公式
在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,求△ABC的面积.
【方法指导】先用正弦定理求出C,从而得出A,再代入面积公式S=bcsin A即可.
【解析】由正弦定理,得=,
∴sin C==.
∵AB>AC,∴C>B,∴C=60°.
∵C=60°,∴A=90°,
∴S△ABC=AB·AC·sin A=2.
[问题]角C的值确定为60°?
[结论]角C的值不愿定为60°,也可能为120°.
由正弦定理,得=,∴sin C==.
∵AB>AC,∴C>B,∴C=60°或120°.
当C=60°时,A=90°,∴S△ABC=AB·AC·sin A=2;
当C=120°时, A=30°,∴S△ABC=AB·AC·sin A=.
故△ABC的面积等于2或.
【小结】在利用面积公式求面积时,用正弦定理求到两边的夹角的正弦值,此时夹角的大小需要进行分类争辩,以防漏解.
在△ABC中,求证:-=c(-).
【解析】∵cos B=,cos A=,
∴右边=c(-)===-=左边,
∴-=c(-).
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,1+2cos(B+C)=0,求角B及边BC上的高.
【解析】在△ABC中,cos(B+C)=-cos A,
∴1+2cos(B+C)=1-2cos A=0,∴A=.
依据正弦定理,=,
∴sin B==.
∵a>b,∴B=,
∴sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A
=×+×=,
∴BC边上的高为bsin C=×=.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.
(1)求证:B-C=;
(2)若a=,求△ABC的面积.
【解析】(1)由正弦定理结合已知条件,得
sin B·sin(+C)-sin Csin(+B)=sin A,
sin B(sin C+cos C)-sin C(sin B+cos B)=,
整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,
即sin(B-C)=1,由于0<B,C<π,从而B-C=.
(2)由于B+C=π-A=,所以B=,C=.
由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,
所以△ABC的面积S=bcsin A=·sin·sin=cossin=.
1.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于( ).
A.12 B. C.28 D.6
【解析】依据余弦定理得:cos A=,A=60°,∴S△ABC=bcsin A=6.
【答案】D
2.在△ABC中,角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若=,则△ABC确定是( ).
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】由正弦定理得==,∴sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,∴A=B.
【答案】A
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3,则△ABC的面积S= .
【解析】∵cos=,∴cos A=2cos2-1=,
∴sin A=.又由·=3,得bccos A=3,∴bc=5,
∴S△ABC=bcsin A=2.
【答案】2
4.已知△ABC的周长为+1,且sin A+sin B=sin C.
(1)求边AB的长;
(2)若△ABC的面积为sin C,求角C的度数.
【解析】(1)由题意及正弦定理,得AB+BC+AC=+1,
BC+AC=AB,两式相减,得AB=1.
(2)由S△ABC=BC·AC·sin C=sin C,得BC·AC=,由余弦定理,得cos C===,所以C=60°.
(2021年·新课标全国卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( ).
A.2+2 B.+1 C.2-2 D.-1
【解析】(法一)由正弦定理知=,得AB=2,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=,
∴S△ABC=×2×2sin A=2×=+1.
(法二)如图,作AD⊥BC于D点,易得AD=DC=,则BD=,∴S△ABC=××(+)=+1.
【答案】B
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