《导学案》2021版高中数学(人教A版必修5)教师用书：1.5应用举例(二)-讲义-.docx

第5课时应用举例(二)1.把握三角形面积公式.2.结合正、余弦定理与三角恒等变换解决一些三角式子的化简求值与证明等问题.重点:三角形面积公式的应用.难点:正、余弦定理与三角恒等变换的交汇考查.某市在“旧城改造”方案中,打算在如图所示的一块三角形空地上种植草皮,以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/平方米,则购买这种草皮需要多少元?问题1:上述问题在计算时,需要计算三角形空地的面积,在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则ABC的面积为S=absin C=bcsin A=acsin B.问题2:利用A+B+C=及+=的关系,将下列式子用含C的三角函数表示:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,sin =cos,cos =sin.问题3:在ABC中,(1)若sin Asin B,则边a,b的大小关系是ab;(2)若cos Acos B,则边a,b的大小关系是a0,cos B0知A、B均为锐角,tan A=1,0A,0Bsin B,即b为最短边,由正弦定理知,=,b=.三角恒等式的证明与求值在ABC中,三个角A、B、C所对边长分别为a=3、b=4、c=6,则bccos A+cacos B+abcos C的值为.【方法指导】利用余弦定理的推论将余弦值转化为边的形式,整理化简,再将三边长代入即可.【解析】bccos A+cacos B+abcos C=bc+ca+ab=(b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2)=(a2+b2+c2)=.【答案】【小结】三角恒等变换求值时,对于边、角共存的式子,一般利用正、余弦定理或恒等变换公式将其转化为角或边的形式,再结合条件完成恒等式的证明或关系式的求值.正、余弦定理与三角恒等变换的交汇考查在ABC中,BC=,AC=3,sin C=2sin A.(1)求AB的值;(2)求sin(2A-)的值.【方法指导】(1)利用正弦定理求解;(2)利用余弦定理求出cos A,进而可得sin A的值,再依据差角公式和二倍角公式可解sin(2A-).【解析】(1)在ABC中,依据正弦定理有=,AB=BC=2BC=2.(2)在ABC中,依据余弦定理的推论,得cos A=,sin A=,sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=cos2A-sin2A=,sin(2A-)=sin 2Acos -cos 2Asin =.【小结】三角恒等变换与正、余弦定理在高考中经常交汇毁灭.依据正、余弦定理可以计算内角的正、余弦值,再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中毁灭的三角函数值,恒等变换公式与正、余弦定理公式往往交替使用,具体的选择要结合条件及待求量机敏处理.三角形的面积公式在ABC中,B=30,AB=2,AC=2,求ABC的面积.【方法指导】先用正弦定理求出C,从而得出A,再代入面积公式S=bcsin A即可.【解析】由正弦定理,得=,sin C=.ABAC,CB,C=60.C=60,A=90,SABC=ABACsin A=2.问题角C的值确定为60?结论角C的值不愿定为60,也可能为120.由正弦定理,得=,sin C=.ABAC,CB,C=60或120.当C=60时,A=90,SABC=ABACsin A=2;当C=120时, A=30,SABC=ABACsin A=.故ABC的面积等于2或.【小结】在利用面积公式求面积时,用正弦定理求到两边的夹角的正弦值,此时夹角的大小需要进行分类争辩,以防漏解.在ABC中,求证:-=c(-).【解析】cos B=,cos A=,右边=c(-)=-=左边,-=c(-).在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,1+2cos(B+C)=0,求角B及边BC上的高.【解析】在ABC中,cos(B+C)=-cos A,1+2cos(B+C)=1-2cos A=0,A=.依据正弦定理,=,sin B=.ab,B=,sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A=+=,BC边上的高为bsin C=.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求ABC的面积.【解析】(1)由正弦定理结合已知条件,得sin Bsin(+C)-sin Csin(+B)=sin A,sin B(sin C+cos C)-sin C(sin B+cos B)=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,由于0B,C,从而B-C=.(2)由于B+C=-A=,所以B=,C=.由a=,A=,得b=2sin,c=2sin,所以ABC的面积S=bcsin A=sinsin=cossin=.1.在ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于().A.12B.C.28D.6【解析】依据余弦定理得:cos A=,A=60,SABC=bcsin A=6.【答案】D2.在ABC中,角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若=,则ABC确定是().A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】由正弦定理得=,sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,A=B.【答案】A3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,=3,则ABC的面积S=.【解析】cos=,cos A=2cos2-1=,sin A=.又由=3,得bccos A=3,bc=5,SABC=bcsin A=2.【答案】24.已知ABC的周长为+1,且sin A+sin B=sin C.(1)求边AB的长;(2)若ABC的面积为sin C,求角C的度数.【解析】(1)由题意及正弦定理,得AB+BC+AC=+1,BC+AC=AB,两式相减,得AB=1.(2)由SABC=BCACsin C=sin C,得BCAC=,由余弦定理,得cos C=,所以C=60.(2021年新课标全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则ABC的面积为().A.2+2B.+1C.2-2D.-1【解析】(法一)由正弦定理知=,得AB=2,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=,SABC=22sin A=2=+1.(法二)如图,作ADBC于D点,易得AD=DC=,则BD=,SABC=(+)=+1.【答案】B