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第三章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1．先后抛掷2枚一分、二分的硬币，观看落地后硬币的正、反面状况，则下列大事包含3个基本大事的是( )
A．至少一枚硬币正面对上
B．只有一枚硬币正面对上
C．两枚硬币都是正面对上
D．两枚硬币一枚正面对上，另一枚正面对下
解析 先后抛掷2枚一分、二分的硬币，其结果有4种情形：“1正2正”、“1正2反”、“1反2正”、“1反2反”，可得“至少一枚硬币正面对上”包含3个基本大事．
答案 A
2．下列命题：
①对立大事肯定是互斥大事；②若A，B为两个随机大事，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若大事A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若大事A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立大事．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①正确；②不正确，当A与B是互斥大事时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个大事A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不肯定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设大事A＝{摸到红球或黄球}，大事B＝{摸到黄球或黑球}，明显大事A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
答案 A
3．掷一枚均匀的硬币，假如连续抛掷1000次，那么第999次消灭正面对上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 投掷一枚均匀的硬币正面对上的概率为，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面对上的概率为，抛掷第999次正面对上的概率还是.
答案 D
4．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中选择2名演主角，后又从剩下的演员中选择1名演配角．这位导演选择出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种选择方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中选择出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝.
答案 D
5．设某厂产品的次品率为3%，估量该厂8000件产品中次品的件数为( )
A．3 B．160
C．240 D．7480
解析 次品数为8000×3%＝240.
答案 C
6．有四个玩耍盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的玩耍盘是( )
解析 由几何概型概率公式知，图中中奖的概率依次是P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，因此，要想增加中奖机会，应选择A盘．
答案 A
7．在线段AB上任取三个点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率为( )
A. B.
C. D．1
解析 由于x1，x2，x3是任意的，它们的排列次序有：x1x2x3，x2x1x3，x2x3x1，x3x2x1，x1x3x2，x3x1x2，共6种状况．其中x2在x1与x3之间有两种状况，故所求概率为＝.
答案 B
8．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明遗忘了密码的最终一个数字，假如小明登录QQ时密码的最终一个数字任凭选取，则恰好能登录的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 只考虑最终一位数字即可，从0至9这10个数字中任取一个，作为密码的最终一位数字有10种可能，其中只有一种可能登录成功，故其概率为.
答案 D
9．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不当心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为( )
A．100 m B．80 m
C. 50 m D．40 m
解析 设河宽x m，则1－＝，∴x＝100 (m)．
答案 A
10．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估量出阴影部分的面积为( )
A. B.
C. 10 D．不能估量
解析 利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为×(5×2)＝.
答案 A
11．在全部的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 在10～99中有99－10＋1＝90个整数，其中能被2整除的有45个，能被3整除的有30个，能被6整除的有15个，因此，所求的概率为P＝＝.
答案 C
12．小丽和小明一起用A，B两枚均匀的小正方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩玩耍，以小丽掷出的A立方体朝上的数字为x，小明掷出的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在抛物线y＝－x2＋4x上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 依据题意，两人各掷小正方体一次，每人都有6种可能性，则点P(x，y)的状况有6×6＝36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3种．因此满足条件的概率为＝.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．一种投掷骰子的玩耍规章是：交2元钱可掷一次骰子，若骰子朝上的点数是1，则中奖2元；若点数是2或3，则中奖1元，若点数是4,5或6，则无奖，某人投掷一次，那么中奖的概率是______．
解析 由题意知，投掷一次骰子若点数为1,2,3则获奖，若消灭点数4,5,6无奖，所以中奖的概率为.
答案
14．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为大事Cn(0≤n≤4，n∈N)，若大事Cn的概率最大，则n的可能值为________．
解析 基本大事为点(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，总数为9.
当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点有1个(0,0)；
当n＝1时，落在直线x＋y＝1上的点有2个，(0,1)和(1,0)；
当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点有(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3个；
当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点有(1,2)，(2,1)共2个；
当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点只有(2,2)1个．
因此，当Cn的概率最大时，n＝2.
答案 2
15．已知区域E＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．
解析 依题意可知，本问题属于几何概型，区域E和区域F的对应图形如图所示．
其中区域E的面积为3×2＝6，区域F的面积为×(1＋3)×2＝4，所以向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为P＝＝.
答案
16．从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析 设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人中都是男生}，则A，B为对立大事，∴P(B)＝1－P(A)＝.
答案
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某学校篮球队，羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参与了一支球队，具体状况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解 由图知，三支球队共有队员10＋4＋3＋3＝20人，其中只参与一支球队的队员有5＋4＋3＝12人，参与两支球队的队员有1＋2＋3＝6人．
(1)设“该队员只属于一支球队”为大事A，
则P(A)＝＝.
(2)设“该队员最多属于两支球队”为大事B，
则P(B)＝＋＝＝.(或P(B)＝1－＝)
18．(12分)高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.
(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；
(2)求射击一次，至少命中8环的概率；
(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．
解 设大事“射击一次，命中i环”为大事Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.
(1)记“射击一次，命中10环或9环”的大事为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.
(2)记“射击一次，至少命中8环”的大事为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.
(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的大事为C，则C与A是对立大事，∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.
19．(12分)水池的容积是20 m3，向水池注水的水龙头A和水龙头B的流速都是1 m3/h，它们在一昼夜内随机开放(0～24小时)，求水池不溢出水的概率．(精确到0.01)
解 设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，若水池不溢出水，则x＋y≤20，
记“水池不溢出水”为大事M，则M所占区域面积为×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576，由几何概型的概率公式，得P(M)＝≈0.35，
即水池不溢出水的概率为0.35.
20．(12分)A、B两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.
(1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2的概率；
(2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0，y＝2的概率．
解 依题意知，从A、B箱中各取1张卡片，其基本大事有6×5＝30个．
(1)记大事C为“从A、B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2”，则C包含5个基本大事，由古典概型的概率公式得P(C)＝＝.
(2)记大事D为“从A、B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0”，则包含10个基本大事，则P(D)＝＝.
21．(12分)某中同学物爱好小组在学校生物园地种植了一批贵重树苗，为了解树苗生长状况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)．把这些高度列成了如下的频数分布表：
组别
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
3
14
15
12
4
(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？
(2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)
(3)为了进一步获得争辩资料，若从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两棵树苗进行试验争辩，则[40,50)组中的树苗A和[90,100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？
解 (1)由已知，高度在85厘米以上的树苗大约有6＋4＝10棵，则所求的概率大约为＝＝0.2.
(2)树苗的平均高度x≈
＝
＝73.8厘米．
(3)依题意，记[40,50)组中的树苗分别为A、B，[90,100]组中的树苗分别为C、D、E、F，则全部的基本大事为
ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF，共12个．
满足A、C同时被移出的基本大事为ACD、ACE、ACF，共3个，所以树苗A和树苗C同时被移出的概率P＝＝0.25.
22．(12分)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到的数对(a，b)．
(1)列举出全部的数对(a，b)，并求函数y＝f(x)有零点的概率；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解 (1)(a，b)共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，15种状况．
函数y＝f(x)有零点，Δ＝b2－4a≥0，
有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种状况
所以函数y＝f(x)有零点的概率为＝.
(2)函数y＝f(x)的对称轴为x＝，
在区间[1，＋∞)上是增函数，则有≤1，即b－2a≤0.
因此有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种状况满足条件，
所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为.
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