江苏省2021届高三数学体艺午间小练及答案：解三角形与立体几何(4).docx

高三体艺午间小练：解三角形与立体几何（3）

1．（本小题满分14分）如图，菱形的边长为，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.
A
B
A
B
C
C
D
M
O
D
O

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.

2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．
（1）若，求△ABC的面积S△ABC；
（2）若是边中点，且，求边的长．
B
C
D
A

参考答案
1．（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）求证：平面，这是证明线面平行问题，证明线面平行，即证线线平行，可利用三角形的中位线，或平行四边形的对边平行，本题留意到是的中点，点是棱的中点，因此由三角形的中位线可得，，从而可得平面；（2）求三棱锥的体积，由已知，由题意,可得，从而得平面，即平面，因此把求三棱锥的体积，转化为求三棱锥的体积，由于高，求出的面积即可求出三棱锥的体积.
试题解析：（１）证明：由于点是菱形的对角线的交点，
所以是的中点.又点是棱的中点，
所以是的中位线，. 2分
由于平面,平面， 4分
所以平面. 6分
（２）三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 7分
由题意，,
由于,所以，. 8分
又由于菱形，所以. 9分
由于,所以平面，即平面 10分
所以为三棱锥的高. 11分
的面积为， 13分
所求体积等于. 14分
考点：线面平行的判定，几何体的体积.
2．（1）；（2）4.
【解析】
试题分析：（1）先利用余弦定理求出AC，再利用正弦定理求出sin∠ACB；（2）构造平行四边形，利用余弦定理求解AC.
试题解析：（1），，
又，所以，
∴． 6分
B
C
D
A
E

（2）以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，
则，BE＝2BD＝7，CE＝AB＝5，
在△BCE中，由余弦定理：
．
即，
解得：CB＝4． 10分
考点：正弦定理，余弦定理，解三角形.