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题组层级快练(二十)
1．设f(x)＝x3＋x，则f(x)dx的值等于( )
A．0 B．8
C．2f(x)dx D.f(x)dx
答案 A
解析
2．下列值等于1的是( )
A.xdx B.(x＋1)dx
C.1dx D.dx
答案 C
解析 1dx＝x＝1.
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋m(m，x∈R)的最小值为－1，则f(x)dx等于( )
A．2 B.
C．6 D．7
答案 B
解析 f(x)＝(x＋1)2＋m－1，∵f(x)的最小值为－1，∴m－1＝－1，即m＝0.∴f(x)＝x2＋2x.
∴f(x)dx＝(x2＋2x)dx＝(x3＋x2)＝×23＋22－－1＝.
4．(2021·福建莆田一中期末)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为( )
答案 D
解析 当x∈[0，]时，y＝sinx与y＝cosx的图像的交点坐标为(，)，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝，x＝所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D.
5．(2021·东北三校一联) sin2dx＝( )
A．0 B.－
C.－ D.－1
答案 B
6．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a，b，c的大小关系是( )
A．a<c<b B．a<b<c
C．c<b<a D．c<a<b
答案 D
解析 a＝x2dx＝x3＝，b＝x3dx＝x4＝4，c＝sinxdx＝－cosx＝1－cos2<2，∴c<a<b.
7．物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在始终线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，动身后物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 由于物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5，所以(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.
8．(2021·山东淄博一模)如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为( )
A.|x2－1|dx
B．|(x2－1)dx|
C.(x2－1)dx
D.(x2－1)dx＋(1－x2)dx
答案 A
解析 由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2－1|dx，选A.
9．(2021·南昌一模)若(2x＋)dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案 A
解析 由题意可知(2x＋)dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.
10．(2022·湖北理)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；
②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 对于①，sinxcosxdx＝sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②， (x＋1)(x－1)dx＝ (x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是一组正交函数，选C.
答案 2π＋1
12．(2021·陕西五校二联)定积分 (|x|－1)dx的值为________．
答案 －1
13．(2021·海淀一模)函数y＝x－x2的图像与x轴所围成的封闭图形的面积等于________．
答案
解析 由x－x2＝0，得x＝0或x＝1.因此所围成的封闭图形的面积为(x－x2)dx＝(－)＝－＝.
14．(2021·安徽六校联考)已知a＝sinxdx，则二项式(1－)5的开放式中x－3的系数为________．
答案 －80
解析 由a＝sinxdx＝－cosx＝－(cosπ－cos0)＝2，则x－3的系数为C(－a)3＝10×(－2)3＝－80.
15.如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线y＝ax2经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
答案
解析 ∵y＝ax2过点B(2,4)，∴a＝1.
16．求由抛物线y2＝x－1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积．
答案
解析 y＝±，y′x＝±.
∵过点(2,1)的直线斜率为y′|x＝2＝，
直线方程为y－1＝(x－2)，即y＝x.同理，过点(2，－1)的直线方程为y＝－x，抛物线顶点在(1,0)．如图所示．
由抛物线y2＝x－1与两条切线y＝x，y＝－x围成的图形面积为：
S＝S△AOB－2dx＝×2×2－2××(x－1)|＝2－(1－0)＝.
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