资源描述
第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
课时目标 1.把握实数运算的性质与大小挨次之间的关系.2.初步学会作差法比较实数的大小．
1．不等式的定义
含有不等号的式子叫做不等式．其中“a≥b”的含义是________，“a≤b”的含义是________．
2．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
假如a－b是正数，那么a____b；
假如a－b等于____，那么a＝b；
假如a－b是负数，那么a____b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0⇔a____b；
a－b＝0⇔a____b；
a－b<0⇔a____b.
一、选择题
1．f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则有( )
A．f(x)>g(x)
B．f(x)＝g(x)
C．f(x)<g(x)
D．不能确定f(x)与g(x)的大小关系
2．下列四个数中最大的是( )
A．lg 2 B．lg
C．(lg 2)2 D．lg(lg 2)
3．若等比数列{an}的公比q>0，且q≠1，又a1<0，那么( )
A．a2＋a6>a3＋a5
B．a2＋a6<a3＋a5
C．a2＋a6＝a3＋a5
D．a2＋a6与a3＋a5的大小不确定
4．若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
5．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，假如两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室
B．乙先到教室
C．两人同时到教室
D．谁先到教室不确定
二、填空题
7．若x∈R，则与的大小关系为________．
8．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
9．设x，y，z∈R，则5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小关系是__________________．
10．设A＝1＋2x4，B＝2x3＋x2，x∈R，则A、B的大小关系是________．
三、解答题
11．设a>b>0，试比较与的大小．
12．已知a、b∈R，求证：a4＋b4≥a3b＋ab3.
力气提升
13．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
14．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
其次步：变形，常接受配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分状况争辩)
最终得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
§3.1 不等关系与不等式
3．1.1 不等关系与不等式
答案
学问梳理
1．a>b或a＝b a<b或a＝b 2.(1)> 0 < (2)> ＝ <
作业设计
1．A [∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．]
2．A [由于lg 2∈(0,1)，所以lg(lg 2)<0，又因lg －(lg 2)2＝lg 2(－lg 2)>0，
lg 2－lg ＝lg 2>0，所以lg 2>lg>(lg 2)2>lg(lg 2)．]
3．B [(a2＋a6)－(a3＋a5)＝a1(q＋q5)－a1(q2＋q4)＝a1q(q4－q3－q＋1)＝a1q(q－1)2(q2＋q＋1)∵a1<0，q>0且q≠1，q2＋q＋1>0，∴a1q(q－1)2(q2＋q＋1)<0，∴a2＋a6<a3＋a5.]
4．C [∵a＝ln ，b＝ln ，c＝ln .且＝，＝，∴a<b.又＝，＝，∴c<a.故c<a<b.]
5．C [∵<x<1，∴－1<ln x<0.令t＝ln x，则－1<t<0.∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，又∵－1<t<0，∴0<t＋1<1，－2<t－1<－1，∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.]
6．B [设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s2t＝，∴T－2t＝－＝s×＝>0，故乙先到教室．]
7.≤
解析 ∵－＝＝≤0，∴≤.
8．A>B
解析 A＝，B＝.∵＋<＋，并且都为正数，∴A>B.
9．5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2
解析 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
10．A≥B
解析 ∵A－B＝1＋2x4－2x3－x2＝2x3(x－1)－(x2－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)[(x3－x)＋(x3－1)]
＝(x－1)2(x2＋x＋x2＋x＋1)
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2[2(x＋)2＋]≥0，
∴A≥B.
11．解 方法一 作差法
－
＝
＝
＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二 作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
12．证明 (a4＋b4)－(a3b＋ab3)
＝a3(a－b)＋b3(b－a)
＝(a－b)(a3－b3)
＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)
＝(a－b)2[(a＋)2＋b2]
∵(a－b)2≥0，(a＋)2＋b2≥0，
∴(a－b)2[(a＋)2＋b2]≥0.
∴a4＋b4≥a3b＋ab3.
13．A [方法一 特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，
a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二 作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2，
∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
∴0<a1<，0<b1<.
又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a－b，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a＋b－2a1b1＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)＝4>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)
＝2>0，
∴a1b1＋a2b2>.
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.]
14．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，
即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，
即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
