2021届高考文科数学二轮复习提能专训20-函数、函数与方程及函数图象与性质.docx

提能专训(二十)　
函数、函数与方程及函数图象与性质　
A组
一、选择题
1．(2022·九江七校联考)函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是(　　)
A．(－1,1)　　　　 　　　　 B．[－1,1)
C．[－1,1] D．(－1,1]
答案：B
解析：函数f(x)＝ln(1－x)的定义域，即解得－1≤x<1，故选B.
2．(2022·广州综合测试一)若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
答案：D
解析：∵函数y＝的定义域为R，∴x2＋ax＋1≥0恒成立，∴Δ＝a2－4≤0，
∴－2≤a≤2.
3．(2022·福建漳州七校联考)函数y＝的图象大致是(　　)

答案：C
解析：定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x<0时，3x－1<0，∴y＝>0；当x>0时，y>0，又当x→＋∞时，y→0，∴应选C.
4．(2022·甘肃临夏中学三模)函数f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x－x＋a，则函数f(x)的零点个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
答案：C
解析：由题意知f(0)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝2x－x－1.在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝x＋1的图象知，当x<0时，有一解．又f(x)为奇函数，∴x>0时有一解．又f(0)＝0，∴f(x)的零点有3个．
5．(2022·重庆七校联盟联考)已知函数f(x)＝
是(－∞，＋∞)上的减函数，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B. C. D.
答案：C
解析：由题知⇒⇒≤a<，所以选C.
6．(2022·云南统检)已知f(x)＝则f(x)≥－2的解集是(　　)
A.∪[4，＋∞)
B.∪(0,4]
C.∪[4，＋∞)
D.∪(0,4]
答案：B
解析：利用函数解析式建立不等式组求解．不等式f(x)≥－2等价于或解得x≤－或0<x≤4.即不等式f(x)≥－2的解集为∪(0,4]，故选B.
7．(2022·乌鲁木齐其次次诊断)已知函数y＝f(2x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
解析：∵y＝f(2x)＋x是偶函数，
∴f(－2x)＋(－x)＝f(2x)＋x，
∴f(－2x)＝f(2x)＋2x，
令x＝1，f(－2)＝f(2)＋2＝3，故选B.
8．(2022·贵州适应性考试)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于(　　)
A．0 B．3 C．4 D．6
答案：A
解析：依题意得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数．留意到2 014＝4×503＋2，因此f(2 014)＝f(2)＝0，故选A.
9．(2022·济南一中等四校联考)函数y＝的图象可能是(　　)

答案：B
解析：由于函数f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数y＝是奇函数，排解选项A和选项C.当x>0时，y＝＝ln x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以选B.
10．(2022·青岛一模)在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a∈R，a*0＝a；
(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
关于函数f(x)＝(ex)*的性质，有如下说法：
①函数f(x)的最小值为3；
②函数f(x)为偶函数；
③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]．
其中全部正确说法的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：由题意可知f(x)＝(ex)*＝ex·＋ex＋＝ex＋＋1.
由于ex＋≥2＝2，故f(x)≥2＋1＝3，当且仅当x＝0时“＝”成立，知①正确；
由f(－x)＝e－x＋＋1＝ex＋＋1＝f(x)，故f(x)是偶函数，知②正确；
由f′(x)＝′＝ex－＝，由f′(x)>0，解得x>0，③不正确．综上知选C.
二、填空题
11．(2022·北京西城期末)设函数f(x)＝则f(f(－1))＝________；若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．

答案：－2　(0,1]
解析：f(f(－1))＝f(4－1)＝f＝log2＝－2.令f(x)－k＝0，即f(x)＝k，设y＝f(x)，y＝k，画出图象，如图所示，函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，由图象可得实数k的取值范围为(0,1]．
12．(2022·浙江考试院抽测)已知t>－1，当x∈[－t，t＋2]时，函数y＝(x－4)|x|的最小值为－4，则t的取值范围________．
答案：[0,2－2]
解析：函数y＝(x－4)|x|可化为y＝其图象如图所示，

当y＝－4时，x＝2或x＝2－2，要满足当x∈[－t，t＋2]时，函数y＝(x－4)|x|的最小值为－4，则2－2≤－t≤2≤t＋2，因此可得t的取值范围是[0,2－2]．
13．(2022·兰州、张掖联考)函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数，则在区间[1,2 013]内这样的企盼数共有________个．
答案：9
解析：∵logn＋1(n＋2)＝，
∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)＝···…·＝＝log2(k＋2)．
∵1 024＝210,2 048＝211，且log24＝2，
∴使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有10－1＝9个．
14．(2022·淄博质检)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)．则f，f(2)，f(3)从小到大的关系是________．
答案：f(3)<f<f(2)
解析：由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.
②中由于函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即可得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称．
依据③可知函数f(x)在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1,2]上为增函数．
由于f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1,2]上，1<<2，
所以f(1)<f<f(2)，
即f(3)<f<f(2)．
15．(2022·南京一模)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．假照实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
答案：
解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)＝f，由f(ln t)＋f≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1)．
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，
所以|ln t|≤1，－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
B组
一、选择题
1．(2022·陕西咸阳一模)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

答案：A
解析：由f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象知，0<a<1，b<－1，则g(x)＝ax＋b的图象是下降的，且x＝0时，g(0)＝1＋b<0，因此应选A.
2．(2022·江西七校一联)函数f(x)＝asin2x＋bx＋4(a，b∈R)，若f＝2 013，则f(lg 2 014)＝(　　)
A．2 018 B．－2 009 C．2 013 D．－2 013
答案：C
解析：由于函数f(x)＝asin2x＋bx＋4(a，b∈R)为偶函数，2 013＝f＝f(－lg 2 014)＝f(lg 2 014)．
3．(2022·太原模拟)已知函数f(x)＝x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是(　　)
A．(0，π) B．(－π，π) C．(lg π，1) D．(π，10)
答案：D
解析：利用数形结合求解．作出函数f(x)的图象，如图．

由图象可得，若方程f(x)＝m有五个不等的实数根，则lg π<m<1，设x1<x2<x3<x4<x5，则x1＝－x4，x2＝－x3，π<x5<10，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x5∈(π，10)，故选D.
4．(2022·佳木斯第一中学第三次调研)已知函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于x＝a＋1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案：D
解析：由题意知f(x)的图象关于x＝1对称，又x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，表明函数在(1，＋∞)上单调递减，所以a＝f＝f，而e>>2>1，所以f(e)<f<f(2)，即c<a<b，选D.
5．(2022·东北三省联合模拟)已知函数f(x)＝若存在实数k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是(　　)
A．[，＋∞) B.
C．(0，] D．{2}
答案：
B
解析：利用数形结合求解．作出函数y＝log2(1－x)＋1和y＝x3－3x＋2的部分图象如图所示，要使函数值域是[0,2]，则存在－1<k<时，1≤a≤；若存在k＝，则<a≤.综上，实数a的取值范围是，故选B.
6．(2022·河南测试)已知函数f(x)＝若函数y＝|f(x)|－k(x＋e2)的零点恰有四个，则实数k的值为(　　)
A．e B. C．e2 D.
答案：D
解析：在坐标平面内画出函数y＝|f(x)|的大致图象与直线y＝k(x＋e2)，结合图象可知，要使函数y＝|f(x)|－k(x＋e2)的零点恰有四个，只要直线y＝k(x＋e2)与曲线y＝ln x(x>1)相切且ke2≤2.设相应的切点坐标是(x0，y0)，于是有即有x0＝，－ln k＝1＋ke2，ke2＋ln k＝－1.记g(k)＝ke2＋ln k，留意到函数g(k)在(0，＋∞)上是增函数，且g＝－1，因此k＝，满足条件，故选D.
7．(2022·江西十校联考)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，点E是对角线AC1上一动点，记AE＝x(0<x<)，过点E平行于平面A1BD的截面将正方体分成两部分，其中点A所在的部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为(　　)

答案：D
解析：由题意知，函数y＝V(x)开头增长速度较慢，当底面为△A1BD时，增长的速度加快，到后来渐渐减慢，适应这一变化规律的图象只有D适合．
8．(2022·石家庄调研)已知函数f(x)＝|logx|，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：D
解析：∵f(x)＝|logx|，若m<n，有f(m)＝f(n)，∴logm＝－logn.
∴mn＝1.∴0<m<1，n>1.
∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上单调递减．
当m＝1时，m＋3n＝4，∴m＋3n>4.
9．(2022·菏泽一模)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)
A．(1,2 014) B．(1,2 015) C．(2,2 015) D．[2,2 015]
答案：C
解析：函数f(x)＝的图象如下图所示，不妨令a<b<c，

由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2 014，所以2<a＋b＋c<2 015，故选C.
10．(2022·揭阳学业考试)已知f(x)＝2x2＋px＋q，g(x)＝x＋是定义在集合M＝上的两个函数．对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f(x)≥f(x0)，g(x)≥g(x0)，且f(x0)＝g(x0)．则函数f(x)在集合M上的最大值为(　　)
A. B．4
C．6 D.
答案：C
解析：函数g(x)＝x＋在区间上的最小值为4，最大值为5，对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得g(x)≥g(x0)，则g(x0)＝g(x)min＝4，此时x0＝2，依据题意知f(x)min＝f(2)＝4，即二次函数f(x)＝2x2＋px＋q的顶点坐标为(2,4)，因此－＝2⇒p＝－8，f(2)＝2×22－2×8＋q＝q－8＝4⇒q＝12，
∴f(x)＝2x2－8x＋12＝2(x－2)2＋4，因此函数f(x)在集合M上的最大值为f(x)max＝f(1)＝6，故选C.
二、填空题
11．(2022·温州十校联考)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：由题意知f(x)＝2|x|，所以f(x＋a)≥f2(x)等价于2|x＋a|≥2|2x|，等价于|x＋a|≥|2x|，平方得3x2－2ax－a2≤0，即(x－a)(3x＋a)≤0在x∈[a，a＋2]上恒成立，等价于[a，a＋2]是或的一个子区间．
(1)当a>0时，[a，a＋2]不是的一个子区间，所以a>0不合题意．
(2)当a<0时，[a，a＋2]是的一个子区间，由解得a≤－.
综上所述a≤－.
12．(2022·郑州质量猜测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a[f(x)]2＋2bf(x)＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，
∴－1和1是f′(x)＝0的根．
∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∴∴
∴f(x)＝ax3－3ax.
∵3a[f(x)]2＋2bf(x)＋c＝0，
∴3a[f(x)]2－3a＝0.
∴[f(x)]2＝1.∴f(x)＝±1.
∵方程恰有6个不同的实根，
∴即
∴a<－.
13．(2022·河南三市调研)已知g(x)＝－x2－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值为7，则f(x)＝________.
答案：x2－2x＋4或x2－x＋4
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则由题意可得f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝2ax2＋2c－2x2－8＝0，得a＝1，c＝4.明显二次函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值只能在x＝－1时或x＝2时取得．当x＝－1时函数取得最大值7，解得b＝－2；当x＝2时函数取得最大值7，解得b＝－.
所以f(x)＝x2－2x＋4或f(x)＝x2－x＋4.
14．(2022·上海长宁质检)已知5的开放式中的常数项为T，f(x)是以T为周期的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是________．
答案：
解析：由Tk＋1＝C(x2)5－k·k＝kCx10－5k，当10－5k＝0，即k＝2时，T3＝2C＝2.函数f(x)是周期为2的偶函数，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，说明函数y＝f(x)与直线y＝kx＋k有4个交点，直线y＝kx＋k是过定点(－1,0)的直线其图象如图所示．

如图可知当直线y＝kx＋k为图中直线l位置时符合题意，当直线y＝kx＋k过点A(3,1)时，k＝，故满足条件k的范围为.
15．(2022·绵阳诊断)f(x)是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f(x)在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f(x)是k型函数．给出下列说法：
①f(x)＝3－不行能是k型函数；
②若函数y＝(a≠0)是1型函数，则n－m的最大值为；
③若函数y＝－x2＋x是3型函数，则m＝－4，n＝0；
④设函数f(x)＝x3＋2x2＋x(x≤0)是k型函数，则k的最小值为.
其中正确的说法为________．(填入全部正确说法的序号)
答案：②③
解析：对于①，留意到函数f(x)＝3－在[2,4]上的值域是[1,2]＝，因此函数f(x)＝3－可能是k型函数，①不正确．对于②，依题意得函数y＝＝－，存在区间[m，n]，使函数y＝－在[m，n]上的值域恰为[m，n]，留意到函数y＝－在区间[m，n]上是增函数，于是有因此m，n是关于x的方程＝x，即a2x2－(a2＋a)x＋1＝0的两个不等的实根，则m＋n＝，mn＝，从而n－m＝＝＝
＝的最大值是＝，因此②正确．对于③，依题意得存在区间[m，n]，使得函数y＝－x2＋x在区间[m，n]上的值域是[3m,3n]，留意到y＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤，因此3n≤，n≤，函数y＝－x2＋x在区间[m，n]上是增函数，于是有即m，n是方程－x2＋x＝3x的两个实根－4,0，又m<n，因此m＝－4，n＝0，③正确．对于④，当x≤0时，f′(x)＝3x2＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)，若－<x≤0，则f′(x)>0；若－1<x<－，则f′(x)<0，函数f(x)＝x3＋2x2＋x(x≤0)在上是减函数，在上是增函数，且f＝－，f(－1)＝f(0)＝0，因此当x∈[－1,0]时，f(x)相应的值域是＝＝，留意到<，因此④不正确，综上所述，其中正确的说法为②③.