2013-2020学年高中数学(人教A版必修四)作业：3.1.1--两角差的余弦公式.docx

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课时提升卷(二十五)
两角差的余弦公式
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.下列式子中，正确的个数为　(　　)
①cos(α-β)=cosα-cosβ；
②cos(π2+α)=sinα；
③cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
A.0个　　　B.1个　　　C.2个　　　D.3个
2.(2021·梅州高一检测)若12sinx+32cosx=cos(x+φ)，则φ的一个可能值是
　(　　)
A.-π6 B.-π3 C.π6 D.π3
3.cosπ12-sinπ12cosπ12+sinπ12=　(　　)
A.-32 B.-12 C.12 D.32
4.(2021·泰安高一检测)已知sinα=13，α是其次象限角，则cos(α-60°)的值为　(　　)
A.-3-226 B.3-226
C.3+226 D.-3+226
5.若α，β为两个锐角，则　(　　)
A.cos(α+β)>cosα+cosβ
B.cos(α+β)<cosα+cosβ
C.cos(α-β)<cosαcosβ
D.cos(α-β)<sinαsinβ
二、填空题(每小题8分，共24分)
6.cos(α-35°)·cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=　　　　.
7.(2021·汕头高一检测)已知cosθ=35，θ∈0,π2，则cosθ-π6=　　　　.
8.(2021·天水高一检测)已知α，β均为锐角，满足cosα=255，sinβ=1010，则cos(α-β)=　　　　.
三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)
9.在△ABC中，若sinA=35，cosB=513，求cosC.
10.已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求证：cos(α-β)=-12.
11.(力气挑战题)已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|a-b|=255，求cos(α-β).

答案解析
1.【解析】选A.①仅有特殊角使之成立，一般状况下不成立；②cos(π2+α)=
-sinα；③cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
2.【解析】选A.12sinx+32cosx=cosxcosπ6+sinxsinπ6=cosx-π6，故φ的一个可能值为-π6.
3.【解析】选D.cosπ12-sinπ12cosπ12+sinπ12=cosπ12cosπ12-sinπ12sinπ12=cosπ12cos-π12+
sinπ12sin-π12=cosπ6=32.
【变式备选】cosπ12+3sinπ12的值为　(　　)
A.-2 B.2 C.12 D.3
【解题指南】制造条件应用公式是解决本题的关键，提取2后转化为212cosπ12+32sinπ12=2cosπ3cosπ12+sinπ3sinπ12，从而求解.
【解析】选B.cosπ12+3sinπ12
=212cosπ12+32sinπ12
=2cosπ3cosπ12+sinπ3sinπ12
=2cosπ4=2.
4.【解析】选B.sinα=13，α是其次象限角，
则cosα=-223，
cos(α-60°)=cosαcos60°+sinαsin60°=3-226.
5.【解析】选B.cos[α-(-β)]-(cosα+cosβ)
=cosαcosβ-sinαsinβ-cosα-cosβ
=cosα(cosβ-1)-sinαsinβ-cosβ
由于α，β是锐角，
所以cosβ-1<0，cosα(cosβ-1)<0，
-sinαsinβ<0，-cosβ<0，
故cos[α-(-β)]-(cosα+cosβ)<0，
即cos(α+β)<cosα+cosβ.
由于cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，
α，β均为锐角，所以cosαcosβ>0，sinαsinβ>0，
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ>cosαcosβ，
同理cos(α-β)>sinαsinβ，故C，D错误.
【一题多解】由于α，β均为锐角，所以cosβ>0，
0<α<α+β<π，由于y=cosx在(0，π)上单调递减.
所以cosα>cos(α+β)，所以cos(α+β)<cosα+cosβ.
6.【解析】cos(α-35°)·cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)
=cos[(α-35°)-(α+25°)]
=cos(-60°)=cos60°=12.
答案：12
7.【解析】由于cosθ=35，θ∈0,π2，所以sinθ=45，
所以cosθ-π6=cosθcosπ6+sinθsinπ6=33+410.
答案：33+410
8.【解析】由于α，β均为锐角，所以sinα=1-cos2α=55，cosβ=1-sin2β=31010.
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=255×31010+55×1010=7210.
答案：7210
9.【解析】由于cosB=513，B∈(0，π)，
所以sinB=1213>32，故B∈π3,2π3；
又sinA=35∈12,22，
故A∈π6,π4或3π4,5π6；
明显A∈3π4,5π6时，A+B>π不合题意，
所以A为锐角，故cosA=45，
又cos(B+C)=-cosA，sin(B+C)=sinA，
所以cosC=cos[(B+C)-B]
=cos(B+C)cosB+sin(B+C)sinB
=-45×513+35×1213=1665.
【误区警示】本题易忽视对角范围的争辩，直接由sinA=35得出cosA=±45，导致错误结论cosC=1665或5665.
10.【证明】由sinα+sinβ+sinγ=0，
cosα+cosβ+cosγ=0得
(sinα+sinβ)2=(-sinγ)2①，
(cosα+cosβ)2=(-cosγ)2②，①+②得，
2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1，
即2+2cos(α-β)=1，
所以cos(α-β)=-12.
11.【解析】由于a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，
所以a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ).
所以|a-b|=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α-2sinαsinβ+sin2β
=2-2cos(α-β)=255，
所以2-2cos(α-β)=45，
所以cos(α-β)=35.
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