资源描述
§3.4 基本不等式：≤(一)
课时目标
1．理解基本不等式的内容及其证明；
2．能利用基本不等式证明简洁不等式．
1．假如a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．若a，b都为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.
(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则，， ，中最小的是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 特殊值法．
令a＝4，b＝2，则＝3，＝， ＝，＝.∴最小．
方法二 ＝，由≤≤≤ ，可知最小．
2．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m<n C．m＝n D．m≤n
答案 A
解析 ∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，
n＝22－x2<22＝4.∴m>n.
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.<ab<1
答案 B
解析 ∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>>0，
∴>1，∴ab<1<.
4．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是( )
A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
答案 D
解析 由于a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1,0<b<1，所以a－1<0，b－1<0，因此a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大．
5．设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是( )
A. B．b C．2ab D．a2＋b2
答案 B
解析 ∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴ >，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－ D．－3
答案 B
解析 x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立
⇔ax≥－x2－1⇔a≥max.
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.
二、填空题
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
答案 大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．
答案 2
解析 ∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．
9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案 3
解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
答案
解析 ∵x>0，∴>0，易知a>0.
∴≥，
∴≤x＋＋3.
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，
∴≤5.∴a≥.
三、解答题
11．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．
解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∵＋≥，
∴n≤＋.
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴n≤＋，
∴n≤＋＋2.
∵＋≥2
＝2(2b＝a＋c时取等号)．
∴n≤4.∴n的最大值是4.
力气提升
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案 C
解析 只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，
又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2 ＋1≥9，
即()2＋2 －8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.
14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
证明 ∵＋≥2 ＝2，
＋≥2 ＝2，
＋≥2 ＝2，
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c为不等正实数，
∴＋＋<＋＋.
1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤ ≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．
2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．
一方面：当a＝b时，＝；
另一方面：当＝时，也有a＝b.
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