2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第六章-第三节基本不等式.docx

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课时提升作业(三十六)
一、选择题
1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是　(　　)
(A)a<b<< (B)a<<<b
(C)a<<b< (D)<a<<b
2.（2021·汉中模拟）函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中m,n>0),则+的最小值等于　(　　)
(A)16 (B)12 (C)9 (D)8
3.(2022·湖北高考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“++≤a+b+c”的　(　　)
(A)充分条件但不是必要条件
(B)必要条件但不是充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要的条件
4.(2021·延安模拟)某企业投入100万元购入一套设备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费确定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业　　　年后需要更新设备.(　　)
(A)10 (B)11 (C)13 (D)21
5.(2021·咸阳模拟)已知a=(m，1)，b=(1，n-1)(其中m，n为正数)，若a·b=0，则+的最小值是(　　)
(A)2 (B)2 (C)4 (D)8
6.(2022·陕西高考)小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则　(　　)
(A)a<v< (B)v=
(C)<v< (D)v=
7.(2021·南昌模拟)设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lg(2y)的最大值为　
(　　)
(A)50 (B)2
(C)1+lg5 (D)1
8.(2021·余姚模拟)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为　(　　)
(A)5 (B)7 (C)8 (D)9
二、填空题
9.（2021·安康模拟）设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为　　　　.
10.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是　　　　.
11.若当x>1时不等式>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
12.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是　　　　.
三、解答题
13.若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范围.(2)求证:xy≤2.
14.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,
求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.
15.(力气挑战题)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的污水处理池,池的深度确定(平面图如图所示),假如池围墙建筑单价为400元/米,中间两道隔墙建筑单价为248元/米,池底建筑单价为80元/米2,水池全部墙的厚度忽视不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
(2)若由于地形限制,设池的长和宽都不能超过16米,试设计该水池的长和宽,使总造价最低.

答案解析
1.【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,
则=2,=,
∴a<<<b.
方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<,a+b<2b,
∴<b,∴a<<<b.
【变式备选】下列结论中正确的是　(　　)
(A)若3a+3b≥2,则必有a>0,b>0
(B)要使+≥2成立,必有a>0,b>0
(C)若a>0,b>0,且a+b=4,则+≤1
(D)若ab>0,则≥
【解析】选D.当a,b∈R时,确定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2,A错.要使+≥2成立,只要>0,>0即可,这时只要a,b同号,B错.当a>0,b>0,且a+b=4时,则+=,由于ab≤()2=4,所以+=≥1,C错.当a>0,b>0时,a+b≥2,所以≤=,而当a<0,b<0时,明显有>,所以当ab>0时,确定有≥,故D正确.
2.【解析】选D.由题意A(-2,-1),
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.
∴+=(+)(2m+n)=4++≥8.
当且仅当n=2m时取等号.
3.【解析】选A.由于++=≤=.可知当abc=1时,可推出++≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满足++≤a+b+c,但abc=1不成立.
4.【解析】选A.由题意可知x年的维护费用为2+4+…+2x=x(x+1)，所以x年平均费用为
y==x++1.5，y=x++1.5≥2+1.5=21.5，当且仅当x=，即x=10时取等号，所以选A.
5.【解析】选C.由于a·b=0，所以m×1+1×(n-1)=0，即m+n=1.又m，n为正数，所以+=(+)(m+n)=2++≥2+2=4，当且仅当=，即m=n=时等号成立.故+的最小值是4.
6.【解析】选A.设甲乙两地的路程为s,则来回时间分别是t1=,t2=,所以平均速度是v===,由于a<b,所以>a,
<,即a<v<.
7.【解析】选B.∵20=2x+y≥2,∴2xy≤100,
∴lgx+lg(2y)=lg(2xy)≤lg100=2.
当且仅当2x=y时取等号.
8.【解析】选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2[(m-2)(2n-2)]=3,
因此于是n=+1.
所以m+n=m++1=m-2++3≥2+3=7.当且仅当m-2=,即m=4时等号成立,此时m+n取最小值7.
9.【解析】由题意x=loga3,y=logb3.∴+=+=log3a+log3b=log3(ab).
∵2=a+b≥2,∴ab≤3,
∵+≤log33=1,当且仅当a=b时取等号.
∴+的最大值为1.
答案：1
10.【解析】∵x>0,∴x+≥2(当且仅当x=1时取等号),
∴=≤=,
∴()max=,∴a≥.
答案：a≥
【方法技巧】依据恒成立求参数的方法
(1)若a≥f(x)恒成立,只需a≥f(x)max.
(2)若a≤f(x)恒成立,只需a≤f(x)min.
即将求参数的范围问题转化为求函数的最值问题来解决.
11.【思路点拨】关键是用基本不等式求的最小值,可将其分子依据分母x-1进行配方,然后分解为3项,再利用基本不等式求最值.
【解析】由于==(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-<m<.
答案：-<m<
12.【思路点拨】先对x2+y2变形,用x+y与xy表示,然后用基本不等式将xy转化为x+y,再解不等式得x+y的最大值.
【解析】由x2+y2+xy=1可得(x+y)2-xy=1,所以(x+y)2-1=xy,由于xy≤()2,所以(x+y)2-1≤()2,因此(x+y)2≤,所以x+y≤,
即x+y的最大值是.
答案：
13.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,有(x2+y2+5)
·(x2+y2-4)≤0,由于x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.
(2)由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤≤=2,所以xy≤2.
14.【思路点拨】把2x+8y-xy=0转化为+=1即可.
【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,
又x>0,y>0,
则1=+≥2=,得xy≥64,
当且仅当=时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=(+)·(x+y)
=10++≥10+2=18.
当且仅当=,且+=1时等号成立,
∴x+y的最小值为18.
15.【解析】(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米,
则总造价f(x)=400×(2x+2×)+248×2x+80×162=1296x++12960=
1296(x+)+12960≥1296×2+12960=38880(元).
当且仅当x=,x=10时取等号.
∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.
(2)由限制条件知
∴10≤x≤16.
设g(x)=x+(10≤x≤16),
∴g(x)在[10,16]上是增函数,
∴当x=10时(此时=16),g(x)取最小值,
即f(x)取最小值.
∴当长为16米,宽为10米时,总造价最低.

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