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专题六 解析几何
第1讲 直线与圆
1．(仿2011·重庆，8)当直线l：y＝k(x－1)＋2被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，k的值为________．
解析 由题易知直线l过定点P(1,2)，圆心C(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，则k×＝－1，得k＝1.
答案 1
2．(仿2010·广东，6)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________．
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.
∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.
∵|CA|2＝|CB|2，
∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，
∴a＝1，b＝1，∴r＝2，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案 (x－1)2＋(y－1)2＝4
3．(仿2022·浙江，3)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的________条件．
解析 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．
答案 充要
4．(仿2021·江西，9)已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．
解析 由于直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为＝，所以a2＝1－b2≥0，即－≤b≤.设圆M的半径为r，则r＝|PM|＝＝＝
(2－b)，又－≤b≤，所以＋1≥|PM|≥－1，所以圆M的面积的最小值为(3－2)π.
答案 (3－2)π
5．(仿2022·山东，16)如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以≤ ，解得1≤z≤2.
答案 [1,2]
6．(仿2011·重庆，15)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________．
解析 由题意结合圆的性质得当圆C2的圆心为AB的中点时，圆C2的半径最
大，而原点到直线3x＋4y－5＝0的距离为1，圆C2过原点，所以圆C2的半径的最大值为1.
答案 1
7．(仿2022·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析 可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.
整理，得3k2－4k≤0.
解得0≤k≤.
故k的最大值为.
答案
8．(仿2021·全国Ⅰ，20)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.
(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
解 (1)将圆的方程配方，
得2＋(y－3)2＝，
故有＞0，解得m＜.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得
消去y，得x2＋2＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①
∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)＜0，解得m＞8.
∴m的取值范围是.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OP⊥OQ，得·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，②
由①及根与系数的关系，得
x1＋x2＝－2，x1·x2＝，③
又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1·y2＝·
＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，
将③代入上式，得y1·y2＝，④
将③④代入②得x1·x2＋y1·y2
＝＋＝0，解得m＝3.
代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m＝3.
9．(仿2011·广东，19)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
(1)证明 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，
化简得x2－2tx＋y2－y＝0，
当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
当x＝0时，y＝0或，则B，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|
＝|2t|·＝4为定值．
(2)解 ∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率
k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(3)解 点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为
|B′C|－r＝－
＝3－＝2.
所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.
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