2022届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查-必修部分63-二项式定理.docx

开卷速查(六十三)　二项式定理
A级　基础巩固练
1．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则开放式中系数最大项是(　　)
A．15x2　　　 B．20x3
C．21x3 D．35x3
解析：令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，∴n＝6，故开放式中系数最大项是T4＝Cx3＝20x3.
答案：B
2．已知二项式n的开放式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为(　　)
A．－19 B．19
C．20 D．－20
解析：n的开放式Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx－，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.
答案：C
3．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
解析：512 012＋a＝a＋(1－13×4)2 012＝a＋1－C13×4＋C(13×4)2＋…＋C(13×4)2 012，又512 012＋a能被13整除，又∵0≤a＜13，
∴a＋1＝13，故a＝12.
答案：D
4．若(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013＋a2 014x2 014(x∈R)，则＋＋…＋＋的值为(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：令x＝0，则a0＝1，令x＝，
则a0＋＋＋…＋＋＝0，
∴＋＋…＋＋＝－1，故选C.
答案：C
5．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为(　　)
A．1或－3 B．－1或3
C．1 D．－3
解析：令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3，故选A.
答案：A
6．设a＝(3x2－2x)dx，则二项式6开放式中的第4项为(　　)
A．－1 280x3 B．－1 280
C．240 D．－240
解析：由微积分基本定理知a＝4，6开放式中的第4项为T3＋1＝C(4x2)33＝－1 280x3，故选A.
答案：A
7．[2022·课标全国Ⅰ](x－y)(x＋y)8的开放式中x2y7的系数为__________．(用数字填写答案)
解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C－C68＝8－28＝－20.
答案：－20
8．[2022·课标全国Ⅱ](x＋a)10的开放式中，x7的系数为15，则a＝__________.(用数字填写答案)
解析：二项开放式的通项公式为Tr＋1＝Cr10x10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
答案：
9．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝__________.
解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.
答案：10
10．已知(a2＋1)n开放式中的各项系数之和等于5的开放式的常数项，而(a2＋1)n的开放式的系数最大的项等于54，求正数a的值．
解析：5开放式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n开放式的各项系数之和为2n，由题意得2n＝16，∴n＝4.
∴(a2＋1)4开放式中系数最大的项是中间项T3，从而C(a2)2＝54，解得a＝.
B级　力气提升练
11．[2022·浙江]在(1＋x)6(1＋y)4的开放式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)
A．45 B．60
C．120 D．210
解析：由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1,2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，选C.
答案：C
12．设函数f(x)＝则当x＞0时，f[f(x)]表达式的开放式中常数项为(　　)
A．－20 B．20
C．－15 D．15
解析：当x＞0时，f(x)＝－＜0，则
f[f(x)]＝6＝6.
Tr＋1＝C()6－r·r＝(－1)rCx·x＝(－1)rCx3－r.令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝(－1)3C6＝－20.
答案：A
13．已知n的开放式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数；
(3)求含x项的系数．
解析：(1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．
∴2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0.
∴n＝8或n＝1(舍)．
(2)由n＝8知其通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x ，r＝0,1，…，8.
∴第三项的二项式系数为C＝28.
第三项系数为2·C＝7.
(3)令4－r＝1，得r＝4，
∴含x项的系数为4·C＝.
14．若某一等差数列的首项为C－A，公差为m的开放式中的常数项，其中m是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．
解析：设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn.
由已知得
又n∈N*，∴n＝2.
∴C－A＝C－A
＝C－A＝－5×4
＝100，
∴a1＝100.
∵7777－15＝(76＋1)77－15
＝7677＋C·7676＋…＋C·76＋1－15
＝76(7676＋C·7675＋…＋C)－14
＝76M－14(M∈N*)，
∴7777－15除以19的余数是5，即m＝5.
∴m的开放式的通项是Tr＋1＝C·5－rr＝(－1)rC5－2rx (r＝0,1,2,3,4,5)，
令r－5＝0，得r＝3，代入上式，得T4＝－4，即d＝－4，
从而等差数列的通项公式是an＝100＋(n－1)×(－4)＝104－4n.
设其前k项之和最大，则
解得k＝25或k＝26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，
S25＝S26＝×25＝×25＝1 300.