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第1讲 函数与方程思想
1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和争辩数学中的数量关系，是对函数概念的本质生疏，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质生疏，用于指导解题就是擅长利用方程或方程组的观点观看处理问题．方程思想是动中求静，争辩运动中的等量关系．
2．和函数与方程思想亲热关联的学问点
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而争辩函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题格外重要．
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．
(4)解析几何中的很多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加亲热.
热点一 函数与方程思想在不等式中的应用
例1 (1)已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤时，f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－，＋∞)
解析 f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0⇒f(cos2θ＋2msin θ)<f(2m＋2)⇒cos2θ＋2msin θ<2m＋2⇒2m(1－sin θ)>－1－sin2θ.
当θ＝时，2m·0>－2，此时m∈R；
当0≤θ<时，m>－，
令t＝1－sin θ，则t∈(0,1]，此时m>－×＝－(t＋－2)．
设φ(t)＝－(t＋－2)，而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(－∞，－]，故m>－.
(2)在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，)
C．(－1,1) D．(0,2)
答案 A
解析 由题意，知(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，所以－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，所以4y2－4y－3<0，解得－<y<.
思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分别参数，然后利用函数值域求解．
(1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
(2)已知函数f(x)＝若对任意x∈[－1－a，a－1]，不等式f(x－a)≥[f(x)]2恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (1)B (2)(0，]
解析 (1)把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.
(2)由题设，知f(x)＝则[f(x)]2＝f(2x)，则不等式f(x－a)≥[f(x)]2等价于f(x－a)≥f(2x)，由于f(x)在R上是增函数，所以x－a≥2x，
即a≤－(2－)x.又x∈[－1－a，a－1]，所以当x＝a－1时，
－(2－)x取得最小值－(2－)(a－1)．
因此a≤－(2－)(a－1)，解得a≤＝.又a－1>－1－a，所以a>0，故a∈(0，]．
热点二 函数与方程思想在数列中的应用
例2 已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144.
(1)求数列{an}的通项an；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值．
解 (1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144，
∴S10＝145，∴S10＝，
∴a10＝28，∴公差d＝3.
∴an＝3n－2(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝＝
＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝，
∴Sn＝.
∵Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是递增数列．
当n≥3时，(Sn)min＝S3＝，
依题意，得m≤，∴m的最大值为.
思维升华 (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；
(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应留意利用函数的思想求解．
(1)(2022·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
(2)已知函数f(x)＝()x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为( )
A．－1 B．1
C. D．－
答案 (1)4 (2)D
解析 (1)由于a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.
(2)由题设，得a1＝f(1)－c＝－c；
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－；
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又数列{an}是等比数列，
∴(－)2＝(－c)×(－)，∴c＝1.
又∵公比q＝＝，
∴an＝－()n－1＝－2()n，n∈N*.
且数列 {an}是递增数列，
∴n＝1时，an有最小值a1＝－.
热点三 函数与方程思想在几何中的应用
例3 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解 (1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又由于点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
所以，k的值为1或－1.
思维升华 几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常毁灭，求解此类问题的一般思路为在深刻生疏运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
(1)(2022·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________________．
(2)若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(1，) B．(，)
C．[，] D．(，)
答案 (1)x2＋y2＝1 (2)B
解析 (1)设点B的坐标为(x0，y0)，
∵x2＋＝1，且0<b<1，
∴F1(－，0)，F2(，0)．
∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)．
∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，
∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．
∴x0＝－，y0＝－.
∴点B的坐标为.
将点B代入x2＋＝1，
得b2＝.
∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
(2)e2＝()2＝＝1＋(1＋)2，
由于当a>1时，0<<1，所以2<e2<5，
即<e<.
1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要依据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．
2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及争辩参数的取值范围等问题，二是在问题的争辩中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
4．很多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分别参变量.
真题感悟
1．(2022·辽宁)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案 C
解析 0<a＝2－<20＝1，b＝log2<log21＝0，
c＝log>log＝1，
即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.
2．(2022·福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5 B.＋
C．7＋ D．6
答案 D
解析 如图所示，
设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.
令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，
解得r2＝50，
即r＝5.
由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6，
故选D.
3．(2022·福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)
答案 160
解析 设该长方体容器的长为x m，则宽为 m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2(x＋)×10，即y＝80＋20(x＋)(x>0)．由于x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”)，
所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．
押题精练
1．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1,2)
解析 令f(x)＝(2－2－|x－2|)2.要使f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)的值域内的值．∵f(x)的值域为[1,4)，∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2.
2．设△ABC，P0是边AB上一个定点，满足P0B＝AB，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
答案 D
解析 方法一 ·＝PB·PC·cos∠CPB
＝(PC2＋PB2－BC2)
＝(PB2＋BC2－2PB·BCcos B＋PB2－BC2)＝PB2－PB·BC·cos B.
这是关于PB的二次函数，当PB＝时，·取得最小值．
由题设，知＝AB，
所以cos B＝.
又cos B＝，
所以＝.
所以AC＝BC.故选D.
方法二 以所在直线为x轴正方向，点C在y轴正半轴上，设A(a,0)，B(b,0)，C(0，c)，P(x,0)，则·＝x2－bx，当x＝时有最小值，所以P0(，0)．
又P0B＝AB，所以＝.
所以a＝－b.所以AC＝BC.故选D.
方法三 设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，则＝(2－x,0)，＝(a－x，b)，＝(1,0)，＝(a－1，b)．
而·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，
即f(x)＝x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立，这是一个关于x的二次函数，故判别式Δ＝a2≤0恒成立．
从而a＝0，即点C在线段AB的中垂线上，故AC＝BC.故选D.
3．已知函数f(x)＝(x∈R)．
(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝；
(2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(m∈N*，n＝1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；
(3)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝b＋bn，Tn＝＋＋…＋，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，Sm<Tn恒成立，试求m的最大值．
(1)证明 由于f(x)＝，
所以f(1－x)＝＝＝.
所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.
(2)解 由(1)，知f(x)＋f(1－x)＝，
所以f()＋f(1－)＝(1≤k≤m－1)(k∈N*)，
即f()＋f()＝.
所以ak＋am－k＝，am＝f()＝f(1)＝.
又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am，①
Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am，②
由①＋②，得2Sm＝(m－1)×＋2am＝－，
即Sm＝－(m∈N*)．
(3)解 由b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，
明显对任意n∈N*，bn>0，则＝＝－，
即＝－，
所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝3－.
由于bn＋1－bn＝b>0，
所以bn＋1>bn，即数列{bn}是单调递增数列．
所以Tn关于n递增，所以当n∈N*时，Tn≥T1.
由于b1＝，b2＝()2＋＝，所以Tn≥T1＝3－＝.
由题意，知Sm<，即－<，解得m<，
所以m的最大值为3.
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