《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：3章末小结.docx

第三章章末小结1.一元二次不等式的解法设a0,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,且x10.若=b2-4ac0,则其解集为x|xx2或xx1;若=0,则其解集为x|x-;若=b2-4ac0,则其解集为R.对于一元二次不等式ax2+bx+c0,则其解集为;若=b2-4ac0,则其解集为.若a0表示Ax+By+C=0某侧全部点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式Ax+By+C0表示区域时则包括边界,把边界画成实线.(2)画二元一次不等式表示的平面区域常接受“直线定界,特殊点定域”的方法,特殊地,当C0时,常把原点(0,0)作为测试点.(3)在求z=ax+by的最值时,确定要留意线性目标函数z=ax+by中b的符号,若b0,当直线过可行域且在y轴上的截距最大时,z值最大,在y轴上的截距最小时,z值最小;若b0).(3)两个重要的结论x,y(0,+),且xy=P(定值),那么当x=y时,x+y有最小值2;x,y(0,+),且x+y=S(定值),那么当x=y时,xy有最大值.在利用基本不等式求最值时,确定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件,即每项都是正值,和或积是定值,全部的等号能同时取得.而二定这个条件是对不等式进行奇异拆分、组合、添加系数等使之变成可用基本不等式的形式的关键.三相等,指等号成立时的参数取值存在,若不存在,则此时无最值;假如要多次用基本不等式求最值,必需保证多次取等号的全都性.4.不等式的综合问题(1)不等式恒成立问题判别式法:ax2+bx+c0(a0)恒成立,ax2+bx+c0(a0)恒成立.转化法:f(x)0恒成立f(x)min0;f(x)0恒成立f(x)max0恒成立(a为参数)ab,则x;若a2x-1a2y-1,则xy;若,则vxy;若ab,c;若0,则ab0时才成立;如3-2,-6-3,但,故不正确;0,abab,即ba.又bab,故正确.故其中正确的有.【答案】【小结】本题主要考查不等式性质及应用,推断不等式是否成立,除了利用不等式学问(如比较法)进行推理外,还要擅长举反例来说明命题的错误.另外,还可以用特殊值法更快捷地解决问题,本题要求同学精确把握学问,正确解题,不要因一个小题而导致整个大题错.题型二:一元二次不等式及其解法已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是().A.-1,-1B.(-,1C.(-,-1D.-1,-1【方法指导】由于给出的f(x)是一个分段函数,因此,要求对f(x+1)中的x+1进行争辩,进而将所求不等式转化为不等式组来解.【解析】由题意得 或 所以或即x-1或-1x-1,故不等式的解集是,从而选C.【答案】C【小结】本题以分段函数为背景,考查分类争辩思想及一元一次不等式和一元二次不等式的解法,故按x+10,于是目标函数等价于z=x+2y-4,即转化为一般的线性规划问题.明显当直线经过点B时,目标函数取得最大值,zmax=21.【答案】21【小结】解决这类问题时需充分把握目标函数的几何含义,在几何含义的基础上加以处理,即方法一的处理方法.另外,方法二是在充分争辩可行域的基础上对问题作出等价处理,针对本题,也不失为一种好方法.题型四:实际应用题制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g,乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g.已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g.甲种烟花每枚可获利2元,乙种烟花每枚可获利1元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大?【方法指导】依据题意,设出未知数,理清变量间的关系,进而可得到线性约束条件,列出目标函数求解.【解析】设每天生产甲种烟花x枚,乙种烟花y枚,获利为z元,则作出可行域如图所示.目标函数为:z=2x+y.作直线l:2x+y=0,将直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点A且与原点的距离最大.此时z=2x+y取最大值.解方程组得答:每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚,能使利润总额达到最大.【小结】本题是线性规划的实际应用问题,关键是要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所争辩的目标函数,通过数形结合解答问题.考纲要求“会从实际情景中抽象出一些简洁的二元线性规划问题,并加以解决”,这是考纲对实际力气考查的要求,所以应娴熟把握实际问题中线性规划问题的解法.其一般步骤是:分析题意设出未知量;列出线性约束条件;利用数形结合进行求解;作答.题型五:基本不等式及其应用设abc0,则2a2+-10ac+25c2的最小值是().A.2B.4C.2D.5【方法指导】对代数式2a2+-10ac+25c2进行化简,配凑为可利用基本不等式的形式.【解析】2a2+-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab+=(a-5c)2+ab+a(a-b)+0+2+2=4,当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1,即a=2b=5c=时等号成立,此时2a2+-10ac+25c2取到最小值4.【答案】B【小结】本题的解题关键是对代数式2a2+-10ac+25c2进行化简,观看代数式可知,其中有两个分式和,而代数式中没有毁灭ab与a(a-b)的形式,需依据已知条件配凑出来,题目的解答有确定的难度.题型六:不等式恒成立问题已知f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.【方法指导】要使f(x)a恒成立,易知只需af(x)min即可,这样就将题目转化为求f(x)最值的问题,明显这里要争辩对称轴x=a与区间-1,+)的关系.【解析】f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,当a(-,-1)时,结合图象知,f(x)在-1,+)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2a+3a,解得-3a-1.当a-1,+)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2a,解得-1a1.综上所述,所求a的取值范围为-3,1.【小结】解不等式的恒成立问题,通常是利用转化的思想,借助函数方程思想及函数图象,求得函数的最值,然后变成解不等式问题,即若xa,b时,f(x)c恒成立,只要求得在a,b上f(x)的最小值f(x)min.解不等式f(x)minc即可;若xa,b时,f(x)c恒成立,只要求得在a,b上f(x)的最大值f(x)max,解不等式f(x)maxc即可.对这类问题的解题方法不熟是解题的障碍点.1.(2021年北京卷)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.求得m的取值范围是().A.(-,)B.(-,)C.(-,-)D.(-,-)【解析】如图,要使可行域存在,必有m1-2m,由于可行域上存在y=x-1直线上的点,所以需要边界点(-m,1-2m)在直线y=x-1上方,(-m,m)在直线y=x-1下方即可.综合以上几条只需要满足解得m-,故选C.【答案】C2.(2021年山东卷)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为().A.0B.1C.D.3【解析】由x2-3xy+4y2-z=0可得z=x2-3xy+4y2,故=1,当且仅当=即x=2y时等号成立,这时z=x2-3xy+4y2=2y2.故+-=-+=-(-1)2+1,因此当y=1时,(+-)max=1.【答案】B