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第3讲 几何概型
[最新考纲]
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估量概率．
2．了解几何概型的意义.
知 识 梳 理
几何概型
(1)定义：假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能消灭的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
(3)公式：
P(A)＝.
辨 析 感 悟
1．对几何概型的理解
(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本大事就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的外形有关．(×)
2．几何概型的计算
(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(×)
(5)(2021·福建卷改编)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则大事“3a－1＜0”发生的概率为.(√)
[感悟·提升]
1．一个区分 “几何概型”与“古典概型”的区分：基本大事的个数前者是无限的，后者是有限的．
2．一点提示 几何概型的试验中，大事A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和外形无关，如(3).
同学用书第186页
考点一 与长度、角度有关的几何概型
【例1】 (1)(2021·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作
射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．
解析 (1)由题意知m＞0，
当m≤2时，满足|x|≤m的概率为＝＝，
解得m＝(舍去)．
当2＜m≤4时，所求概率为＝，∴m＝3.
(2)∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，
在Rt△ADB中，AD＝，∠B＝60°，
∴BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记大事N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时大事N发生．
由几何概型的概率公式得P(N)＝＝.
答案 (1)3 (2)
规律方法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径肯定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
【训练1】 (1)(2022·淄博二模)设P在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为( )．
A. B. C. D.
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，
在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
解析 (1)方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，
解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率为＝.
(2)由于在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本大事为“∠DAB内作射线AP”，所以它的全部等可能大事所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域h为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.
答案 (1)C (2)
考点二 与面积有关的几何概型
【例2】 (1)(2021·陕西卷)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的掩盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )．
A．1－ B.－1 C．2－ D.
(2)(2022·北京卷)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )．
A. B. C. D.
解析 (1)依题意知，有信号的区域面积为×2＝，矩形面积为2，故无信号的概率P＝＝1－.
(2)如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的
是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.故选D.
答案 (1)A (2)D
规律方法 数形结合为几何概型问题的解决供应了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形精确 表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为大事A满足的不等式，在图形中画出大事A发生的区域，通用公式：P(A)＝.
【训练2】 已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域内的概率为( )．
A. B. C. D.
解析 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积
为××1＋××1＝，则所求概率为＝.
答案 B
考点三 与体积有关的几何概型
【例3】 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
审题路线 画出正方体⇒找出以点O为中心且到O点的距离等于1的几何体(球)⇒利用球的体积公式及几何概型的概率公式求解．
解析 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为大事A，则P(A)＝＝1－.
答案 1－
规律方法 很多几何概型，往往要通过肯定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要擅长依据问题的具体状况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．
【训练3】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内
随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为________
解析 当VM－ABCD＝时，即×1×1×h＝，
解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，
所以所求概率P＝＝.
答案
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的生疏，它只与大小有关，而与外形和位置无关，在解题时，要把握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
同学用书第187页
教你审题11——几何概型中有关平面几何的“临界点”的探求
【典例】 (2021·湖南卷)已知大事“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )．
A. B. C. D.
[审题] 一审条件：在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB；
二审过程：如何确定△APB的最大边是AB？找出BP＝AB与AP＝AB的“临界点”；
三审结论：要求，利用直角三角中的勾股定理找出AD与AB的关系式．
解析 矩形ABCD如图所示，在点P从D点向C点运动过程中，DP在增大，AP也在增大，而BP在渐渐减小，当P点到P1位置时，BA＝BP1，当P点到P2位置时，AB＝AP2，故点P在线段P1P2上时，△ABP中边AB最大，由已知大事发生的概率为可得P1P2＝CD.在Rt△BCP1中，BP＝CD2＋BC2＝AB2＋AD2＝AB2.
即AD2＝AB2，所以＝.
答案 D
[反思感悟] (1)解决有关长度、角度、面积、体积的几何概型问题，关键是动点的轨迹的推断，在“动”中求“静”，也就是找出符合题设条件的“临界点”．
(2)此类试题常与平面几何图形、不等式组表示的平面区域、直线与圆等学问综合考查，难度稍大．
【自主体验】
已知M：定点A(3,1)，在M内任取一点P，使得PA≤的概率等于________．
解析 如图所示，区域M是一个边长为2的正方形，其面积为S＝22＝4；满足PA≤的点P在以点A(3,1)为圆心，为半径的圆内．如图，作出圆A，则扇形ABC的圆心角∠BAC＝，故扇形ABC的面积S1＝×π×()2＝，S△ABC＝S2＝×AB×AC＝××＝1，所以阴影部分弓形的面积S3＝S1－S2＝－1.
所以所求大事的概率为P＝＝＝.
答案
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时观察的是红灯的概率( )．
A. B. C. D.
解析 以时间的长短进行度量，故P＝＝.
答案 B
2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝＝.
答案 C
3．(2022·长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为 ( )．
A. B. C. D．π
解析 如图，满足|PA|≤1的点P在如图所示阴影部分运动，
则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为＝＝.
答案 C
4．(2022·辽宁卷)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 设AC＝x cm,0＜x＜12，则CB＝(12－x)cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12－x)＞20，则x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率为P＝＝.
答案 C
5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“平安飞行”的概率为P＝＝.
答案 C
二、填空题
6．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析 如图可设与的长度等于1，
则由几何概型可知其整体大事是其周长3，则其概率是.
答案
7．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估量出阴影部分的面积为________．
解析 设所求的面积为S，由题意，得＝，则S＝36.
答案 36
8．(2022·成都模拟)在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0至之间的概率为________．
解析 由0≤cos x≤，x∈，可得－≤x≤－，或≤x≤，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P＝＝.
答案
三、解答题
9．在1上升产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？
解 1升＝1 000毫升，记大事A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”．
则P(A)＝＝0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.
记大事B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”．
则P(B)＝＝0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.
10．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．
解 设大事A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成大事A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，依据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1. 如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，
连接MN，则弦MN的长超过R的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 如图，在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD＝MC＝R，
当点N不在半圆弧上时，MN＞R，故所求的概率P(A)＝＝.
答案 D
2．(2022·湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．
在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．
A.－ B. C．1－ D.
解析 如图，设OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝×1×1＝，S扇形OCD＝，
∴在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝－2＝1，
全部阴影面积为π－2.故所求概率P＝＝1－.
答案 C
二、填空题
3．(2022·烟台二模)已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS－ABC的概率是________．
解析 三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，VP－ABC<VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥S－ABC的高为h，则所求概率为：
P＝＝.
答案
三、解答题
4．设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段，
(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．
解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度全部可能状况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种状况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝.
(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为
即
所表示的平面区域为△OAB.
若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形，
则还要满足
即为
所表示的平面区域为△DEF，
由几何概型知，所求概率为P＝＝.
同学用书第187页
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