资源描述
带电粒子在复合场中的运动
考纲解读1.会分析速度选择器、磁流体发电机、质谱仪、回旋加速器等磁场的实际应用问题.2.会分析带电粒子在组合场、叠加场中的运动问题．
1．[带电粒子在复合场中的直线运动]如图1所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不行忽视)从原点O以速度v沿x轴正方向动身，下列说法错误的是 ( )
图1
A．若电场、磁场分别沿z轴正方向和x轴正方向，粒子只能做曲线运动
B．若电场、磁场均沿z轴正方向，粒子有可能做匀速圆周运动
C．若电场、磁场分别沿z轴负方向和y轴负方向，粒子有可能做匀速直线运动
D．若电场、磁场分别沿y轴负方向和z轴正方向，粒子有可能做平抛运动
答案 A
解析 磁场沿x轴正方向，则与粒子运动的速度v的方向平行，粒子不受洛伦兹力的作用，只受到竖直向下的重力和竖直向上的电场力作用，若重力和电场力大小相等，粒子将做匀速直线运动，所以A错误；磁场竖直向上，依据左手定则，洛伦兹力沿y轴正方向，若电场力和重力大小相等，洛伦兹力供应向心力，则粒子可能在xOy平面内做匀速圆周运动，B正确；粒子受到竖直向下的电场力，竖直向上的洛伦兹力和竖直向下的重力，若重力和电场力的合力与洛伦兹力的大小相等，则粒子所受合力为零，粒子将做匀速直线运动，C正确；粒子受到沿y轴负方向的电场力，沿y轴正方向的洛伦兹力和竖直向下的重力，若洛伦兹力与电场力的大小相等，则粒子的合力等于竖直方向的重力，粒子将做平抛运动，D正确．
2．[带电粒子在复合场中的匀速圆周运动]如图2所示，一带电小球在一正交电场、磁场区域里做匀速圆周运动，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面对里，则下列说法正确的是 ( )
图2
A．小球确定带正电
B．小球确定带负电
C．小球的绕行方向为顺时针方向
D．转变小球的速度大小，小球将不做圆周运动
答案 BC
解析 小球做匀速圆周运动，重力必与电场力平衡，则电场力方向竖直向上，结合电场方向可知小球确定带负电，A错误，B正确；洛伦兹力充当向心力，由曲线运动轨迹的弯曲方向结合左手定则可得绕行方向为顺时针方向，C正确，D错误．
3．[质谱仪的工作原理]如图3所示是质谱仪的工作原理示意图．带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是 ( )
图3
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面对外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于E/B
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
答案 ABC
解析 带电粒子在题图中的加速电场中加速，说明粒子带正电，其通过速度选择器时，电场力与洛伦兹力平衡，则洛伦兹力方向应水平向左，由左手定则知，磁场的方向应垂直纸面对外，选项B正确；由Eq＝Bqv可知，v＝E/B，选项C正确；粒子打在胶片上的位置到狭缝的距离即为其做匀速圆周运动的直径D＝，可见D越小，则粒子的比荷越大，D不同，则粒子的比荷不同，因此利用该装置可以分析同位素，A正确，D错误．
4．[回旋加速器的工作原理]劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图4所示．置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽视．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，高频沟通电频率为f，加速电压为U.若A处粒子源产生的质子质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响．则下列说法正确的是 ( )
图4
A．质子被加速后的最大速度不行能超过2πRf
B．质子离开回旋加速器时的最大动能与加速电压U成正比
C．质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为∶1
D．不转变磁感应强度B和沟通电频率f，该回旋加速器的最大动能不变
答案 AC
解析 质子被加速后的最大速度受到D形盒半径R的制约，因v＝＝2πRf，故A正确；质子离开回旋加速器的最大动能Ekm＝mv2＝m×4π2R2f2＝2mπ2R2f2，与加速电压U无关，B错误；依据R＝，Uq＝mv，2Uq＝mv，得质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为∶1，C正确；因回旋加速器的最大动能Ekm＝2mπ2R2f2与m、R、f均有关，D错误．
一、复合场的分类
1．叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．组合场：电场与磁场各位于确定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替毁灭．
二、带电粒子在复合场中的运动形式
1．静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
2．匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．
3．较简洁的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同始终线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
三、应用
图5
1．质谱仪
(1)构造：如图5所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2.
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m.
由以上两式可得r＝ ，m＝，＝.
2．回旋加速器
(1)构造：如图6所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接沟通电源，D形盒处于匀强磁场中．
图6
(2)原理：沟通电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r打算，与加速电压无关．
3．速度选择器(如图7所示)
(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B相互垂直．这种装置能把具有确定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器．
图7
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝.
4．磁流体发电机
(1)磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能．
(2)依据左手定则，如图8中的B是发电机正极．
图8
(3)磁流体发电机两极板间的距离为L，等离子体速度为v，磁场的磁感应强度为B，则由qE＝q＝qvB得两极板间能达到的最大电势差U＝BLv.
5．电磁流量计
工作原理：如图9所示，圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流淌，导电液体中的自由电荷(正、负离子)，在洛伦兹力的作用下横向偏转，a、b间毁灭电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定，即：qvB＝qE＝q，所以v＝，因此液体流量Q＝Sv＝·＝.
图9
考点一 回旋加速器和质谱仪
1．回旋加速器的最大动能Ekmax＝，与回旋加速器D形盒的半径R有关，与磁感应强度B有关，而与加速电压无关．
2．粒子在磁场中运动的周期与交变电流的周期相同．
例1 回旋加速器是用来加速带电粒子，使它获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频沟通电源两极相接，以便在盒间的窄缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心四周，若粒子源射出的粒子带电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rm，其运动轨迹如图10所示．问：
图10
(1)D形盒内有无电场？
(2)粒子在盒内做何种运动？
(3)所加沟通电压频率应是多大，粒子运动的角速度为多大？
(4)粒子离开加速器时速度为多大？最大动能为多少？
(5)设两D形盒间电场的电势差为U，盒间距离为d，其间电场均匀，求把静止粒子加速到上述能量所需时间．
解析 (1)扁形盒由金属导体制成，具有屏蔽外电场的作用，盒内无电场．
(2)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大．
(3)粒子在电场中运动时间极短，因此高频沟通电压频率要等于粒子回旋频率，由于T＝，故得
回旋频率f＝＝，
角速度ω＝2πf＝.
(4)粒子圆旋半径最大时，由牛顿其次定律得
qvmB＝，
故vm＝.
最大动能Ekm＝mv＝.
(5)粒子每旋转一周能量增加2qU.粒子的能量提高到Ekm，则旋转周数n＝.
粒子在磁场中运动的时间t磁＝nT＝.
一般地可忽视粒子在电场中的运动时间，t磁可视为总时间．
答案 (1)D形盒内无电场 (2)匀速圆周运动 (3) (4) (5)
突破训练1 如图11所示，一束带电粒子以确定的初速度沿直线通过由相互正交的匀强磁场(磁感应强度为B)和匀强电场(电场强度为E)组成的速度选择器，然后粒子通过平板S上的狭缝P进入另一匀强磁场(磁感应强度为B′)，最终打在A1A2上，下列表述正确的是 ( )
图11
A．粒子带负电
B．全部打在A1A2上的粒子，在磁感应强度为B′的磁场中的运动时间都相同
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在A1A2的位置越靠近P，粒子的比荷越大
答案 CD
解析 本题考查带电粒子在复合场中的运动，意在考查同学对带电粒子在复合场中运动规律的把握．依据粒子在磁感应强度为B′的磁场中的运动轨迹可推断粒子带正电，A错误；带电粒子在速度选择器中做匀速直线运动，则电场力与洛伦兹力等大反向，Eq＝Bqv，可得v＝，C正确；由洛伦兹力充当粒子做圆周运动的向心力可得r＝，则＝，越靠近P，r越小，粒子的比荷越大，D正确；全部打在A1A2上的粒子在磁感应强度为B′的磁场中都只运动半个周期，周期T＝，比荷不同，打在A1A2上的粒子在磁感应强度为B′的磁场中的运动时间不同，B错误．
考点二 带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束状况下的运动状况分类
(1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做简洁的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．
(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做简洁的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，确定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，确定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做简洁的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束状况下的运动
带电粒子在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的状况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功状况，并留意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
例2 如图12所示，在一竖直平面内，y轴左方有一水平向右的场强为E1的匀强电场和垂直于纸面对里的磁感应强度为B1的匀强磁场，y轴右方有一竖直向上的场强为E2的匀强电场和另一磁感应强度为B2的匀强磁场．有一带电荷量为＋q、质量为m的微粒，从x轴上的A点以初速度v与水平方向成θ角沿直线运动到y轴上的P点，A点到坐标原点O的距离为d.微粒进入y轴右侧后在竖直面内做匀速圆周运动，然后沿与P点运动速度相反的方向打到半径为r的的绝缘光滑圆管内壁的M点(假设微粒与M点碰后速度转变、电荷量不变，圆管内径的大小可忽视，电场和磁场可不受影响地穿透圆管)，并恰好沿圆管内无碰撞下滑至N点．已知θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图12
(1)E1与E2大小之比；
(2)y轴右侧的磁场的磁感应强度B2的大小和方向；
(3)从A点运动到N点所用的时间．
解析 (1)A→P微粒做匀速直线运动
E1q＝mgtan θ
P→M微粒做匀速圆周运动
E2q＝mg
联立解得E1∶E2＝3∶4
(2)由题图知，P→M微粒刚好运动半个周期
2R＝
qvB2＝
联立解得B2＝
又由左手定则可知B2的方向垂直纸面对外
(3)A→P有：
vt1＝，解得t1＝
P→M有：
vt2＝πR，解得t2＝
遇到M点后速度只剩下向下的速度，此时mg＝E2q，从M→N的过程中，微粒连续做匀速圆周运动
v1＝vsin 37°
v1t3＝，解得t3＝
所以t总＝t1＋t2＋t3＝＋
答案 (1)3∶4 (2)，方向垂直纸面对外 (3)＋
突破训练2 如图13所示，空间存在着垂直纸面对外的水平匀强磁场，磁感应强度为B，在y轴两侧分别有方向相反的匀强电场，电场强度均为E，在两个电场的交界处左侧四周，有一带正电的液滴a在电场力和重力作用下静止，现从场中某点由静止释放一个带负电的液滴b，当它的运动方向变为水平方向时恰与a相撞，撞后两液滴合为一体，速度减小到原来的一半，并沿x轴正方向做匀速直线运动，已知液滴b与a的质量相等，b所带电荷量是a所带电荷量的2倍，且相撞前a、b间的静电力忽视不计．
图13
(1)求两液滴相撞后共同运动的速度大小；
(2)求液滴b开头下落时距液滴a的高度h.
答案 (1) (2)
解析 液滴在匀强磁场、匀强电场中运动，同时受到洛伦兹力、电场力和重力作用．
(1)设液滴a质量为m、电荷量为q，则液滴b质量为m、电荷量为－2q，
液滴a平衡时有qE＝mg ①
a、b相撞合为一体时，质量为2m，电荷量为－q，设速度为v，由题意知处于平衡状态，重力为2mg，方向竖直向下，电场力为qE，方向竖直向上，洛伦兹力方向也竖直向上，因此满足qvB＋qE＝2mg ②
由①②两式，可得相撞后速度v＝
(2)对b，从开头运动至与a相撞之前，由动能定理有
WE＋WG＝ΔEk，即(2qE＋mg)h＝mv ③
a、b碰撞后速度减半，即v＝，则v0＝2v＝
再代入③式得h＝＝＝
39.带电粒子在组合场中运动模型问题
模型概述
带电粒子在组合场中的运动过程比较简洁，但假如认真分析其运动过程会发觉，粒子的运动过程实际上是几个运动过程的组合，只要认真分析每个过程，找出其所满足的物理规律，并找出各个过程之间的连接点和相关联的物理量，问题便可迎刃而解．
1．先电场后磁场模型
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图14、15所示)
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．
图14 图15
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图16、17所示)
在电场中利用平抛运动学问求粒子进入磁场时的速度．
图16 图17
2．先磁场后电场模型
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种状况：(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反；(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直．(如图18、19所示)
图18 图19
例3 如图20所示，在两个水平平行金属极板间存在着向下的匀强电场和垂直于纸面对里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为E＝2×106 N/C和B1＝0.1 T，极板的长度l＝ m，间距足够大．在极板的右侧还存在着另一圆形的匀强磁场区域，磁场的方向为垂直于纸面对外，圆形磁场的圆心O位于平行金属极板的中线上，圆形磁场的半径为R＝ m．有一带正电的粒子以某一初速度沿极板的中线水平向右飞入极板后恰好做匀速直线运动，然后进入圆形磁场区域，飞出圆形磁场区域后速度方向偏转了60°，不计粒子的重力，粒子的比荷为＝2×108 C/kg.
图20
(1)求圆形磁场区域的磁感应强度B2的大小；
(2)在其他条件都不变的状况下，将极板间的磁场撤去，为使粒子飞出极板后不能进入圆形磁场，求圆形磁场的圆心O离极板右边缘的水平距离d应满足的条件．
审题与关联
解析 (1)设粒子的初速度大小为v，粒子在极板间做匀速直线运动，则：
qvB1＝qE
设粒子在圆形磁场区域中做圆周运动的半径为r，则：
qvB2＝m
粒子速度方向偏转了60°，则：
r＝Rcot 30°
解得：B2＝0.1 T
(2)撤去磁场B1后，粒子在两极板间做类平抛运动，设在两极板间运动的时间为t，运动的加速度为a，飞出电场时竖直方向上的速度为vy，速度的偏转角为θ，则：
qE＝ma
l＝vt
vy＝at
tan θ＝
解得：tan θ＝，即θ＝30°
设粒子飞出电场后速度恰好与圆形磁场区域的边界相切时，圆心O离极板右边缘的水平距离为d0，如图所示，则：
d0＝－
解得：d0＝ m，所以d> m
答案 (1)0.1 T (2)d> m
突破训练3 如图21所示，水平放置的M、N两平行板相距为d＝0.50 m，板长为L＝1 m，两板间有向下的匀强电场，场强E＝300.0 N/C，紧靠平行板右侧边缘的xOy直角坐标系以N板右端点O为原点，在xOy坐标系的第一象限内如图所示部分有垂直纸面对外的匀强磁场，磁感应强度B＝×10－2 T，磁场边界OA与x轴夹角∠AOx＝60°，现有比荷为×106 C/kg的带电粒子(重力不计)，从极板左侧沿靠近M板的水平线垂直电场方向进入电场，离开电场后垂直于OA边界进入磁场区域，求：
(1)带电粒子进入电场时的初速度v0；
(2)带电粒子从进入电场到离开磁场的总时间．
图21
答案 (1)3×104 m/s (2)(＋＋)×10－4 s
解析 (1)带电粒子要垂直射入磁场，则速度偏向角为30°
有＝tan 30°
vy＝at＝
解得v0＝3×104 m/s
(2)粒子在电场中的运动时间为t1＝＝×10－4 s
粒子在电场中的偏转距离为y＝at2＝＝ m
粒子离开电场的速度v＝＝2 ×104 m/s
粒子离开电场后做匀速直线运动，直线运动距离s2＝(d－y)sin 30°＝ m
运动时间t2＝＝ ×10－4 s
设粒子进入磁场后的轨道半径为R，R＝＝ m
粒子运动轨迹如图所示，则sOG＝(d－y)sin 60°＝ m
由正弦定理有＝得θ＝30°
由此可知，带电粒子在磁场中的偏转角度为30°
由在磁场中的运动时间为t3＝＝＝×10－4 s
则总运动时间：t＝t1＋t2＋t3＝(＋＋)×10－4 s
高考题组
1．(2021·浙江·20)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽视的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面对里、有确定宽度的匀强磁场区域，如图22所示．已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋ ( )
图22
A．在电场中的加速度之比为1∶1
B．在磁场中运动的半径之比为∶1
C．在磁场中转过的角度之比为1∶2
D．离开电场区域时的动能之比为1∶3
答案 BCD
解析 磷离子P＋和P3＋的质量相等设为m，P＋的电荷量设为q，则P3＋的电荷量为3q，在电场中由a＝知，加速度之比为所带电荷量之比，即为1∶3，A错误；由qU＝mv2得Ek∝q，即离开电场区域时的动能之比为1∶3，D正确；又由qvB＝，得r＝ ∝，所以rP＋∶rP3＋＝∶1，B正确；由几何关系可得P3＋在磁场中转过60°角后从磁场右边界射出，C正确．
2．(2021·山东·23)如图23所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面对里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E.一带电荷量为＋q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场．已知OP＝d，OQ＝2d.不计粒子重力．
图23
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向；
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将沿垂直y轴的方向进入其次象限，求B0；
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间．
答案 (1)2 ，方向斜向上与x轴正方向成45°角
(2) (3)(2＋π)
解析 (1)设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿其次定律得
qE＝ma ①
由运动学公式得d＝at ②
2d＝v0t0 ③
vy＝at0 ④
v＝ ⑤
tan θ＝ ⑥
联立①②③④⑤⑥式得v＝2 ⑦
θ＝45° ⑧
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动
轨迹如图所示，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ为等
腰直角三角形，得R1＝2d ⑨
由牛顿其次定律得qvB0＝m ⑩
联立⑦⑨⑩式得B0＝ ⑪
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何学问分析知，
粒子运动的轨迹如图所示，O2、O2′是粒子做圆周运动
的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接
O2、O2′，由几何关系知，O2FGO2′和O2QHO2′均为
矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又
FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF为等腰直角三角形．由此可知，粒子在第一、
第三象限的轨迹均为半圆，得
2R2＝2d ⑫
粒子在其次、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得FG＝HQ＝2R2 ⑬
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有t＝ ⑭
联立⑦⑫⑬⑭式得t＝(2＋π)
模拟题组
3．如图24所示，一个质量为m、电荷量为q的带电小球从水平线PQ上方M点自由下落，以PQ为边界下方有方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场，同时还有垂直于纸面的匀强磁场，小球从边界上的a点进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，并从边界上的b点穿出，重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是 ( )
图24
A．小球带负电荷，匀强磁场方向垂直于纸面对外
B．小球的电荷量与质量的比值＝
C．小球从a运动到b的过程中，小球和地球组成的系统的机械能守恒
D．小球在a、b两点的速度相同
答案 B
解析 带电小球在复合场中做匀速圆周运动，则qE＝mg，选项B正确；电场方向竖直向下，则可知小球带负电，由于小球从b点射出，依据左手定则可知磁场方向垂直纸面对里，选项A错误；小球运动过程中，电场力做功，故小球和地球组成的系统的机械能不守恒，只是在a、b两点机械能相等，选项C错误；小球在a、b两点速度方向相反，故选项D错误．
4．直角坐标系xOy中与x轴成45°角的界线OM两侧区域分别有如图25所示电、磁场(第三象限除外)，匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面对外，匀强电场场强E＝vB、方向沿x轴负方向．一不计重力的带正电的粒子，从坐标原点O以速度为v、沿x轴负方向射入磁场，随后从界线上的P点沿垂直电场方向进入电场，并最终飞离电、磁场区域．已知粒子的电荷量为q，质量为m，求：
图25
(1)粒子在磁场中运动的轨迹半径R及P点的位置坐标；
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标．
答案 (1) (，) (2)
(3)[0，－(－1)]
解析 (1)由洛伦兹力供应向心力，有：
qvB＝m
解得：R＝
粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子经过界线OM
的位置P的坐标为(，)
(2)粒子在磁场中运动的周期
T＝＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
(3)粒子从P点射入电场后将做类平抛运动，如图所示，有：
R＝at2 ①
x＝vt ②
其中：a＝ ③
联立①②③式解得x＝
故粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标为[0，－(－1)]
(限时：45分钟)
►题组1 对带电粒子在叠加场中运动的考查
1．如图1所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直纸面对里，将带正电的小球在场中由静止释放，最终落到地面上．关于该过程，下述说法正确的是 ( )
图1
A．小球做匀变速曲线运动
B．小球削减的电势能等于增加的动能
C．电场力和重力做的功等于小球增加的动能
D．若保持其他条件不变，只减小磁感应强度，小球着地时动能不变
答案 C
解析 重力和电场力是恒力，但洛伦兹力是变力，因此合外力是变化的，由牛顿其次定律知其加速度也是变化的，选项A错误；由动能定理和功能关系知，选项B错误，选项C正确；磁感应强度减小时，小球落地时的水平位移会发生变化，则电场力所做的功也会随之发生变化，选项D错误．
2．如图2所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面对里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则 ( )
图2
A．经过最高点时，三个小球的速度相等
B．经过最高点时，甲球的速度最小
C．甲球的释放位置比乙球的高
D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
答案 CD
解析 三个小球在运动过程中机械能守恒，有mgh＝mv2，在圆形轨道的最高点时对甲有qv1B＋mg＝，对乙有mg－qv2B＝，对丙有mg＝，可推断v1>v3>v2，选项A、B错误，选项C、D正确．
3．如图3所示，一个带正电荷的物块m，由静止开头从斜面上A点下滑，滑到水平面BC上的D点停下来．已知物块与斜面及水平面间的动摩擦因数相同，且不计物块经过B处时的机械能损失．先在ABC所在空间加竖直向下的匀强电场，再让物块m从A点由静止开头下滑，结果物块在水平面上的D′点停下来；后又撤去电场，在ABC所在空间加水平向里的匀强磁场，再次让物块m从A点由静止开头下滑，结果物块沿斜面滑下并在水平面上的D″点停下来．则以下说法中正确的是 ( )
图3
A．D′点确定在D点左侧 B．D′点确定与D点重合
C．D″点确定在D点右侧 D．D″点确定与D点重合
答案 BC
解析 仅在重力场中时，物块由A点至D点的过程中，由动能定理得mgh－μmgs1cos α－μmgs2＝0，即h－μs1cos α－μs2＝0，由题意知A点距水平面的高度h、物块与斜面及水平面间的动摩擦因数μ、斜面倾角α、斜面长度s1为定值，所以s2与重力的大小无关．而在ABC所在空间加竖直向下的匀强电场后，相当于把重力增大了，s2不变，D′点确定与D点重合，A项错误，B项正确；在ABC所在空间加水平向里的匀强磁场后，洛伦兹力垂直于接触面对上，正压力变小，摩擦力变小，重力做的功不变，所以D″点确定在D点右侧，C项正确，D项错误．
4．如图4所示，在竖直平面坐标系xOy的第一象限，有垂直xOy面对外的水平匀强磁场和竖直向上的匀强电场，大小分别为B和E；第四象限有垂直xOy面对里的水平匀强电场，大小也为E；第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N点．一质量为m的带电小球从y轴上(y>0)的P点沿x轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点O，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N点后水平进入第四象限，并在电场中运动(已知重力加速度为g)．
图4
(1)推断小球的带电性质并求出其所带电荷量；
(2)P点距坐标原点O至少多高；
(3)若该小球以满足(2)中OP最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N点时开头计时，经时间t＝2小球距坐标原点O的距离s为多远？
答案 (1)正电 (2) (3)2R
解析 (1)小球进入第一象限正交的电场和磁场后，在垂直磁场的平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡，设小球所带电荷量为q，则有
qE＝mg ①
解得：q＝ ②
又电场方向竖直向上，故小球带正电．
(2)设小球做匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r，由洛伦兹力供应向心力得：
qBv＝mv2/r ③
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道内侧运动，则应满足：
mg＝mv2/R ④
由②③④得：r＝ ⑤
即PO的最小距离为：y＝2r＝ ⑥
(3)小球由O运动到N的过程中设到达N点的速度为vN，由机械能守恒定律得：
mg·2R＝mv－mv2 ⑦
由④⑦解得：vN＝ ⑧
小球从N点进入电场区域后，在绝缘光滑水平面上做类平抛运动，设加速度为a，则有：
沿x轴方向有：x＝vNt ⑨
沿电场方向有：z＝at2 ⑩
由牛顿其次定律得：a＝qE/m ⑪
t时刻小球距O点为：s＝＝2R
►题组2 对带电粒子在组合场中运动的考查
5．如图5所示，在xOy坐标系中，y>0的范围内存在着沿y轴正方向的匀强电场；在y<0的范围内存在着垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)．已知Oa＝Oc＝cd＝L，Ob＝L.现有一群质量为m、电荷量大小为q的带电粒子(重力不计)，分布在a、b之间．t＝0时刻，这群带电粒子以相同的初速度v0沿x轴正方向开头运动．观看到从a点动身的带电粒子恰好从d点第一次进入磁场，然后从O点第一次离开磁场．
图5
(1)试推断带电粒子所带电荷的正负及所加匀强磁场的方向；
(2)试推导带电粒子第一次进入磁场的位置坐标x与动身点的位置坐标y的关系式；
(3)试求从a点动身的带电粒子，从O点第一次离开磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角θ.
答案 (1)负 垂直纸面对里 (2)x＝2 (3)45°
解析 (1)由带电粒子在电场中的偏转方向可知：该带电粒子带负电；依据带电粒子在磁场中做圆周运动的运动状况，由左手定则知匀强磁场方向垂直纸面对里．
(2)设带电粒子在电场中的加速度为a，对于从a点进入电场的粒子，有：
L＝at ①
2L＝v0t1 ②
由①②式解得a＝ ③
y＝at2 ④
x＝v0t ⑤
联立③④⑤式解得：x＝2 ⑥
(3)如图，由几何学问可得：从a点动身的带电粒子第一次进入
磁场时与x轴正方向的夹角等于θ.对于从a点进入电场的带电
粒子，其y轴方向的速度：
vy1＝at1 ⑦
tan θ＝ ⑧
由⑦⑧式解得：tan θ＝1，所以θ＝45°
6．如图6所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以确定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面对里．结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直电场的方向进入匀强电场，电场方向与AC平行向上，最终离子打在G处，而G处距A点2d(AG⊥AC)．不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内．求：
图6
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r；
(2)离子从D处运动到G处所需时间；
(3)离子到达G处时的动能．
答案 (1)d (2) (3)
解析 (1)正离子轨迹如图所示．
圆周运动半径r满足：d＝r＋rcos 60°，解得r＝d
(2)设离子在磁场中的运动速度为v0，则有：qv0B＝m
T＝＝
由图知离子在磁场中做圆周运动的时间为：t1＝T＝
离子在电场中做类平抛运动，从C到G的时间为：t2＝＝
离子从D→C→G的总时间为：t＝t1＋t2＝
(3)设电场强度为E，则有：qE＝ma，d＝at
由动能定理得：qEd＝EkG－mv
解得EkG＝
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