资源描述
阶段质量检测(三) 不等式
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．不等式(x＋3)2＜1的解集是( )
A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
3．下列命题中正确的是( )
A．a＞b⇒ac2＞bc2 B．a＞b⇒a2＞b2
C．a＞b⇒a3＞b3 D．a2＞b2⇒a＞b
4．(2022·安徽高考)若x，y满足约束条件
则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0
C. D．3
5．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
6．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．∅
7．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不愿定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．a(a－b)＞0
8. 在如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有很多个，则a的一个可能值是( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
9． 若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1
C. D．2
10．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2<m<4 D．－4<m<2
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝2－x－(x＞0)的值域为________．
12．不等式2x2＋2x－4≤的解集为________．
13．已知不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1＞0的解集为________．
14．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．
三、解答题(共4小题，共50分)
15．(12分)解下列关于x的不等式
(1)1＜x2－3x＋1＜9－x
(2)ax2－x－a2x＋a＜0(a＜－1)
16．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
17．(12分)一个农夫有田2亩，依据他的阅历，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农夫对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
18．(14分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
答 案
阶段质量检测(三) 不等式
1．选C 原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，
解得－4＜x＜－2.
2．选A 由于M－N＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.
3．选C 选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；选项B中，当a＝0，b＝－1时a＞b，但a2＜b2，所以B不正确；选项D中，当a＝－2，b＝－1时，a2＞b2，但a＜b，所以D不正确．很明显C正确．
4.选A 可行域为如图所示的阴影部分，可知z＝x－y在点A(0,3)处取得最小值，∴z最小值＝－3.
5．选B x，y为正数，(x＋y)·＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x等号成立．
6．选A ⇒
⇒⇒－4≤x≤－3.
7．选C 由已知可得，c＜0，a＞0，b不愿定，若b＝0时，C不愿定成立，故选C.
8．选A 若最优解有很多个，则y＝－x＋与其中一条边平行，而三边的斜率分别为、－1、0，与－对比可知a＝－3或1，
又因z＝x＋ay取得最小值，则a＝－3.
9．选B 如图所示：
约束条件
表示的可行域如阴影部分所示．
当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1,2)，
∴m的最大值是1，故选B.
10．选D ∵x>0，y>0.∴＋≥8(当且仅当＝时取“＝”)．
若＋>m2＋2m恒成立，
则m2＋2m<8，解之得－4<m<2.
11．解析：当x＞0时，y＝2－≤2－2＝－2.当且仅当x＝，x＝2时取等号．
答案：(－∞，－2]
12．解析：由已知得2x2＋2x－4≤2－1，所以x2＋2x－4≤－1，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.
答案：{x|－3≤x≤1}
13．解析：方程x2－ax－b＝0的根为2,3.依据韦达定理得：a＝5，b＝－6，所以不等式为6x2＋5x＋1＜0，解得解集为.
答案：
14．解析：画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.
答案：4
15．解：(1)∵1＜x2－3x＋1＜9－x，
∴x2－3x＋1＞1且x2－3x＋1＜9－x.
∴x＞3或x＜0且－2＜x＜4.
∴－2＜x＜0或3＜x＜4.
∴原不等式1＜x2－3x＋1＜9－x的解集为{x|－2＜x＜0或3＜x＜4}．
(2)由ax2－x－a2x＋a＜0
∴(x－a)(ax－1)＜0
因a＜－1∴(x－a)＞0，
当a＜－1时，＞a，所以x＜a，
或x＞.
∴不等式的解集为{x|x＜a，或x＞}．
16．解：(1)由于不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k＜0 .
由根与系数的关系得
解得k＝－.
(2)由于不等式的解集为R，
所以
即
所以k＜－.
即k的取值范围是.
17．解：设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
即
画出可行域如图阴影部分所示
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立得交点B(1.5，0.5)．
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．
18．解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2<x<4，
∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．
(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2
≥2 －2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
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