高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章-典型例题：定积分的简单应用.docx

定积分的简洁应用
　　定积分是高中新增的数学的内容，是高等数学的基础。它在初等数学中有着广泛的应用。下面举例说明如下，供同学们学习时参考。
　　一．求函数表达式
　　例1.设连续，且，求.
　　解：记，则
　　两端积分得：
　　，
　　。
　　二、计算平面图形的面积
　　例2计算正弦曲线y=sinx在[0,p]上与x轴所围成的平面图形的面积。
　　解：。
　　例3.求曲线与轴围成的平面图形的面积.

2

　　解：如图，由得两曲线交点（1，1）.
　　取为积分变量，,
　　所求面积
　　.
　　三、平行截面面积为已知的立体体积
　　例4曲线绕轴旋转一周，求旋转体的体积。
　　解：，

　　四、求旋转体的体积

　　例5求底圆半径为，高为的圆锥体的体积。
　　解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线
　　 及轴所围成三角形绕轴旋转一
周而成，故圆锥体体积
　　.
五、求函数利润问题
例6

　　六、在物理中的应用
　　例7汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开头刹车到停车，汽车走了多少距离？
解首先要求出从刹车开头到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
　　例8用力拉一弹簧，把弹簧从平衡位置拉长10厘米，此时用的力是200牛顿，求变力F所作的功W．
解：
拉长弹簧所用的拉力与弹簧的伸长成正比，即F＝f(x)＝kx(k为比例系数)．
2000x，它就是被积函数，积分区间是[0，0.1]．
　　∴当弹簧被拉长0.1米时，变力所作的功为

　　 答：拉长弹簧10厘米所作的功为10焦耳．