福建省厦门市2021届高三毕业班适应性考试数学理试题-Word版含答案.docx

2021年厦门市高三适应性考试
数学（理科）试卷
留意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 复数（为虚数单位）的共轭复数是
A. B. C. D.
2． 随机变量，则=
Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718
（参考数据：，，）
3． 直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率等于
A. B. C. D.
4． 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是

5．已知实数满足，则的取值范围是

6． 命题函数在上的值域为；命题.
下列命题中，真命题的是
A． B． C． D．
7． 已知数列满足: 当时，，则的前项和

8．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点的坐标为，点位于第一象限，．若，
则=

正视方向
图1
图2

9． 如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，
动点M、N、Q分别在线段上.
当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，
三棱锥Q-BMN的正视图面积等于
A. B.
C. D.
10．如图所示，由直线及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，
,恒成立,
则实数等于
A. B. C. D.

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
a=0
S=1
WHILE a<3
S=S*3
a=a+1
WEND
PRINT S
END

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．阅读如图所示的程序，该程序输出的结果是　　▲　　．

12．设,
则　　▲　　．

13．一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球.若取一个红球记2分，
取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有　▲　种.

14．如图，在中，,，过点D的直线分别交
直线AB，AC于点M，N.若，
则的最小值是　　▲　　．

15．十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率（为圆周率）.
已知，，现随机掷14根相同的针（长度为）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为）相交的根数为，其相应的
概率为.当取得最大值时，　　▲　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
如图，平面直角坐标系中， ,，的面积为.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若函数的图象经过三点，其中为的图象与轴相邻的两个交点，求函数的解析式.

17．（本小题满分13分）
如图，梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC.
（Ⅰ）若BE＝3，在线段AD上一点取一点P，使，求证：CP∥平面ABEF；
（Ⅱ）若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA,FC,FD的长成等比数列，求二面角E－AC－F的大小．

18．（本小题满分13分）
某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元.依据以往阅历：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值削减为前一天的一半.现有两种采摘方案：
方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；
方案②：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元.
依据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%.每天是否下雨不相互影响.
（Ⅰ）若接受方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益；
（Ⅱ）从统计学的角度分析，茶厂接受哪种方案更合理.

19．（本小题满分13分）
如图，抛物线E:的焦点为，其准线与轴交于点，
过抛物线E上的动点作于点.
当时， .
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过点作直线，求直线与抛物线E的交点个数；
（Ⅲ）点C是的外心，是否存在点，使得的面积最小.若存在，恳求出面积的最小值及P的坐标；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分14分）
已知函数（e为自然对数的底数）.
（Ⅰ）争辩的单调性；
（Ⅱ）定义：函数的定义域为，若，使成立，则称为的不动点.
当时，
（ⅰ）证明：函数存在唯一的不动点，且；
（ⅱ）已知数列满足，
求证：，（其中为的不动点）.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，假如多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，的一个特征值.
（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，点依次在矩阵所对应的变换和关于轴的反射变换的作用下得到点，写出复合变换的变换公式，并求出点的坐标.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).
（Ⅰ）推断直线与曲线的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若直线和曲线相交于两点，且，求直线的斜率.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知，的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）解关于的不等式.

2021年厦门市高中毕业班适应性考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
B
D
B
D
B
C

二、填空题：
题号
11
12
13
14
15
答案
27
31
45

4或5
三、解答题：
16．本题考查解三角形和三角函数图象及性质等学问，考查同学运算求解力气、数据处理力气及推理论证力气，考查同学数形结合思想、函数与方程思想及转化与化归思想，属于中档偏易题.本题满分13分.
解：（Ⅰ）∵，，∴，， 1分
又∵的面积为，∴， 2分
∴. 3分
在中，，，
由余弦定理得：， 4分
即，整理得，
∴，或(舍去)，∴的长为. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 7分
∵函数的图象经过三点，其中为的图象与轴相邻的两个交点，
∴函数的半个周期，对称轴为， 9分
∴，
∵，∴， 10分
∴，∴，
又∵，∴， 11分
∴，
又∵，∴， 12分
∴函数的解析式是. 13分
17．本题以翻折的图形为载体，考查空间点、线、面位置关系、线面平行证明及求二面角大小等有关基础学问，同时结合考查数列学问．本题考查空间想象力气、运算求解力气和推理论证力气，考查数形结合和化归与转化等数学思想方法. 本题满分13分.
解：（Ⅰ）证法一：在梯形ABCD中，
AD∥BC， EF∥AB ，BE＝3，∴AF=3，
又AD＝6，BC＝4，∴EC=1，FD=3， 1分
在线段AF上取点Q，使，连接, 2分
∵，∴，
∵，∴， 3分
∴四边形ECPQ为平行四边形，∴， 4分
∵平面ABEF，平面ABEF，∴CP∥平面ABEF. 5分
证法二：同证法一，EC=1，FD=3， 1分
延长DC交FE的延长线于点M，连接，则， 2分
∵，∴， 4分
∵平面ABEF，平面ABEF，∴CP∥平面ABEF. 5分
证法三：同证法一，EC=1，FD=3， 1分
在线段DF上取点R，使，连接PR，CR，
∵，∴，
∵平面ABEF，平面ABEF，∴PR∥平面ABEF; 2分
∵， ∴
∵， ∴四边形ECRF为平行四边形，∴，
∵平面ABEF，平面ABEF，∴CR∥平面ABEF; 3分
∵，∴平面平面， 4分
∵平面PRC，∴CP∥平面ABEF. 5分
（Ⅱ）解法一：在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，∴EF⊥AF， EF⊥FD，
∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF平面EFDC=，AF平面EFDC，
∴AF⊥平面EFDC， 6分
设，
∵EF＝BA＝2，∴，
∴， 7分
∵线段AF，FC，FD的长成等比数列，∴，
，化简得，
∴或（舍）， 9分
以F为原点，FE，FD，FA分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，， 10分
∴，，
设是平面ACE的一个法向量，
则，即，
取，则，∴； 11分
又，，
设是平面ACF的一个法向量，
则，即，
取，则∴； 12分
∴，
∵ 二面角E-AC-F为锐角， ∴二面角E-AC-F为. 13分
解法二：同解法一得或（舍）， 9分
，
∵，∴，
设点G为FC的中点，连接，则， 10分
∵AF⊥平面EFDC，平面AFC，∴平面AFC平面EFDC，
∵平面AFC平面EFDC=，∴EG⊥平面AFC，
∵平面AFC ， ∴EG⊥AC， 11分
过G作GH⊥AC交AC于H，连接EH，
∵EGGH=G， ∴AC⊥平面EGH，
∵EH平面EGH，∴AC⊥EH，
∴是二面角E-AC-F的平面角， 12分
在中，，
在中，，∴， ，∴，
∵为锐角， ∴，即二面角E－AC－F为. 13分
18．本题考查概率概念及其意义，独立大事，对立大事和互斥大事的概率，随机变量的分布列及数学期望等相关学问；考查运算求解力气，数据处理力气和应用意识，考查转化与化归和必定与或然等数学思想方法. 本题满分13分.
解：(Ⅰ)设茶厂14日当天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6，3，1.5 1分
4分
所以的分布列为

6
3
1.5

5分
所以的数学期望为，
即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元. 6分
(Ⅱ)茶厂若接受方案①，设茶厂其次天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6和3，
由于， 7分
所以的分布列为

3

8分
所以的数学期望为， 9分
所以茶厂若接受方案①则其采茶总收益为， 11分
茶厂若接受方案②则其采茶总收益为， 12分
由于14.64<14.8，所以茶厂应当接受方案②收益高，风险小，和谐社会，供应就业岗位. 13分
19．本题考查抛物线定义，直线方程，直线方程与抛物线、圆的位置关系等学问，考查同学运算求解力气、推理论力气、抽象概括力气，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想. 本题满分13分.
解：(Ⅰ)过点作轴于点，当时，，，
， 1分
中，， 2分
.，即 ， 3分
抛物线E的方程：， 4分
（也可由余弦定理求得，在中，，即）
(Ⅱ) 解法一：当点为原点时，直线的方程：与抛物线E切于点；
设，则，，，， 5分
直线，化简得：，
代入得， 6分
，（）， 7分
直线与抛物线E有且只有一个交点. 8分
解法二：由(Ⅰ)得，设，则， 5分
，，直线，即， 6分
代入中，得， 7分
，直线与抛物线E有且只有一个交点. 8分
（Ⅲ）解法一：由已知得DP的中垂线：，与直线:联立，
得到圆心C的纵坐标， 9分
，
又，则， 10分
不妨设（），
， 11分
由得，由得，
当时，函数有最小值；
当点的坐标为或时， 12分
取得最小值. 13分
解法二：由(Ⅱ)得DP的中垂线：，又直线:垂直平分，
圆心C的纵坐标：， 9分
，又，
则， 10分
不妨设（），
， 11分
在递减，在递增；当时，函数有最小值；
当点的坐标为或时， 12分
取得最小值. 13分
解法三：设外接的圆C半径为，，不妨设，
，, 9分
由正弦定理得：，
，又，
，则. 10分
以下解法同上.
20．本小题主要考查函数的零点、函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础学问，考查归纳猜想、推理论证力气、运算求解力气、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．本题满分14分．
解：（Ⅰ）， 1分
当时，，在R上单调递增； 2分
当时，令，得；令，得；
所以在单调递减，在单调递增. 4分
（Ⅱ）（ⅰ）证法一：依题意，只需争辩关于x的方程在R+上根的个数，
而，
记，即， 5分
，
由（Ⅰ）知，当时，，即，
，
在R+上单调递增； 7分
又 8分
函数的图像在R+上连续不断，存在唯一，使得，
函数在R+上存在唯一的不动点，且. 9分
证法二：依题意，只需争辩关于x的方程在R+上根的个数，
而，
记，即， 5分
，，
，，， 6分
在R+上单调递增，，
在R+上单调递增； 7分
以下同证法一. 9分
（ⅱ）证法一：要证不等式成立，
只需证成立，即证.…（*） 10分
下面用数学归纳法证明：.
①当时，由（Ⅰ）得，在上单调递增，
由（ⅰ）得，，，又，，
即，时，结论成立. 11分
② 假设时，结论成立，即 ，
在上单调递增，且，，，
又，所以，，
，即. 时，结论成立.
依据①，②可得，. 12分
所以要证不等式（*）成立，只需证成立，
即证. …………（**）
记，，当且仅当取到等号， 13分
在上单调递增，
，，即（**）式成立.
，命题得证. 14分
证法二：要证不等式成立，
只需证成立，只需证. ………（*） 10分
下面用数学归纳法证明：.（过程、得分同证法一） （此步骤共2分）12分
所以要证不等式（*）成立，只需证成立，
即证. …………（**）
记，， 13分
又在上单调递增，，
，当且仅当取到等号，在上单调递增，
，，即（**）式成立.
，命题得证. 14分
证法三：要证不等式成立，
只需证成立， 10分
下面用数学归纳法证明：.（过程、得分同证法一） （此步骤共2分）12分
所以要证不等式（*）成立，只需证成立，
即证. …………（**）
记，， 13分
又在上单调递增，，
，即当且仅当取到等号，
在上单调递增，
，，即（**）式成立.
，命题得证. 14分
21．（1）本题考查矩阵与变换、矩阵的乘法等学问；考查运算求解力气；函数与方程数学思想．满分7分.
解：（Ⅰ）解法一：矩阵的特征多项式， 2分
，，解得， 3分
解法二：设属于矩阵的特征值的一个特征向量为，
则，即， 2分
即，整理得，为非零向量，则，所以，
3分
（Ⅱ）设关于轴的反射变换对应的矩阵为，则， 4分
复合变换对应的矩阵为， 5分
复合变换的变换公式为， 6分
将 代入的变换公式，得，的坐标为. 7分
（2）本小题主要考查直线的参数方程及其几何意义、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础学问；考查运算求解力气；数形结合思想．满分7分．
解：(Ⅰ) ，， 1分
曲线的直角坐标方程为，即， 3分
直线过点，且该点到圆心的距离为，直线与曲线相交. 4分
(Ⅱ)解法一：当直线的斜率不存在时，直线过圆心，， 5分
则直线必有斜率，设其方程为，即，
圆心到直线的距离， 6分
解得，直线的斜率为. 7分
解法二：将代入，得，
整理得，， 5分
设两点对应的参数分别为，则，
， 6分
不妨设为直线的的倾斜角，则，则或，直线的斜率为. 7分
（3）本小题主要考查利用二元和三元基本不等式求最值、确定值不等式的解法等基础学问；考查运算求解力气；化归与转化、分类与整合的思想．满分7分．
解：（Ⅰ）， 1分
①
而 ② 2分
③ 3分
当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立；
则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. 4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，
， 5分
解得 6分
原不等式的解集为. 7分