资源描述
题组层级快练(七)
1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
答案 D
解析 由函数的奇偶性排解A，由函数的单调性排解B，C，由y＝x|x|的图像可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.
2．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
答案 B
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案 A
解析 由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．
4．(2021·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
答案 D
解析 由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
答案 D
解析 由f(x)＋g(x)＝ex，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减，可得g(x)＝，选D.
6．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
答案 A
7．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A．1 B．4
C．3 D．2
答案 B
解析 由f(2)＝0，得f(5)＝0.
∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.
∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，
f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.
故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．
8．(2021·深圳一调)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 015)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
答案 A
解析 ∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，
∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．
即f(x＋1)＝－f(x－1)．
∴f(x＋2)＝－f(x)．
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.
∴f(2 015)＝f(3)＝2.
9．(2022·湖南理)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案 C
解析 用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
答案 B
11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．
答案 0
12．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝________.
答案 －
解析 依题意，得f(－)＝－f()＝－f(－2)＝－f()＝－2××(1－)＝－.
13．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图像关于________点对称．
答案 (0,1)
解析 f(x)的图像是由y＝x3＋sinx的图像向上平移一个单位得到的．
14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为________．
答案 －4
15．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5)的大小关系是__________．
答案 f(5)<f(－1)<f(4)
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数，
∴y＝f(x)关于x＝2对称．
又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数，
∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，
∴f(5)＜f(－1)＜f(4)．
16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的推断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)关于直线x＝1对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；
④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(2)＝f(0)．
其中正确的序号是________．
答案 ①②⑤
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，得
f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．
∴f(x)是周期为2的函数，①正确．
f(x)关于直线x＝1对称，②正确．
f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，
∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③，④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．
17．(2021·湖北八校)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：
(1)f(0)与f(2)的值；
(2)f(3)的值；
(3)f(2 013)＋f(－2 014)的值．
答案 (1)f(0)＝0，f(2)＝0 (2)f(3)＝－1 (3)1
解析 (2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.
(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．
因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.
18．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．
答案 －4
解析 由题意知，当x>0时，F(x)≤8.
∵f(x)，g(x)都是奇函数，且当x<0时，－x>0.
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2
＝－af(x)－bg(x)＋2
＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8.
∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.
∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.
1．已知f(x)是在R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(3)＝________；f(2 019)＝________.
答案 0 0
解析 在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3，得f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0.
又f(x)是R上的奇函数，故f(3)＝0.
即f(x＋6)＝f(x)，知f(x)是周期为6的周期函数，从而f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝0.
2．若f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－)＜0的解集为________．
答案 {x|－＜x＜}
解析 ∵f(x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，
∴f(x)在(－1,0)上也是增函数．
∴f(x)在(－1,1)上为增函数．
f(x)＋f(x－)＜0⇔
f(x)＜－f(x－)＝f(－x)⇔
⇔－＜x＜.
∴不等式f(x)＋f(x－)＜0的解集为{x|－＜x＜}．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
