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双基限时练(二十)
1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上( )
A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数
解析 ∵f(x)＝x3为奇函数．
∴y＝f(－x)＝－f(x)＝－x3.
∴y＝f(－x)在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B.
答案 B
2．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 仅有α＝－1时，f(x)＝x－1满足题意，因此选A.
答案 A
3．已知幂函数y＝xm在第一象限内的图象，如图所示．已知m取2，－2，，－四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的m依次是( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
解析 由图象知，相应于曲线C1，C2，C3，C4的幂依次从大到小排列，∴选B.
答案 B
4．函数y＝x的图象大致是( )
解析 由于>1，故可排解选项A，D.依据幂函数的性质可知，当a>1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排解选项C，只有选项B正确．
答案 B
5．函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过定点P，P在幂函数f(x)的图象上，则f(9)＝( )
A. B.
C．3 D．9
解析 由loga1＝0，对任意a>0且a≠1都成立知，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过定点，
设f(x)＝xα，则＝2α，故α＝－，
所以f(x)＝x，所以f(9)＝9＝3－1＝.
答案 A
6．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<c<a D．b<a<c
解析 构造幂函数y＝x (x∈R)，则该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以a<c，故c>a>b.
答案 D
7．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析 由y＝(m－1)xm2－m为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案 ②
8．给出以下列结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝aα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不行能在第四象限，但可能在其次象限．
则正确结论的序号为________．
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
答案 ④
9．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n>n，则n＝________.
解析 ∵－<－，且n>n，
∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，
∴n＝－1，或n＝2.
答案 －1或2
10.已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
解 (1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
11．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．
解 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
12．已知幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a＋1) <(3－2a) 的实数a的取值范围．
解 ∵幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，∴函数y＝x3－p是偶函数．
又y＝x3－p在(0，＋∞)上为增函数，
∴3－p是偶数且3－p>0，
∵p∈N*，∴p＝1，
∴不等式(a＋1) <(3－2a) 化为：
(a＋1) <(3－2a) .
∵函数y＝是[0，＋∞)上的增函数，
∴⇒⇒－1≤a<，故实数a的取值范围为.
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