福建省德化一中2021年春季高二数学(理科)周练14-Word版含答案.docx

德化一中2021年春季高二数学（理科）周练14
班级______ 座号______ 姓名_________ 成果_________
一、选择题：
1.随机变量，则=( )
A . 0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718
（参考数据：，，）
2.若（为虚数单位），则的值为( )
A. B. C. D.
3.设,则( )．
A. 31 B. 35 C. 42 D. 28
4．一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球.若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有( )种.
A. 27 B. 35 C. 45 D. 60
5.下列推断不正确的是( )
A．若，则
B．命题“”的否定是“”
C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样
D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等
6.在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列所给图象中可能正确的是 ( )

A B C D

7．设点（）是区域内的任意一点，则函数在区间上是增函数的概率为( )
A． B． C． D．
8. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形
面积为 ( )
A． B． C． 1 D． 2
9．命题函数在上的值域为；命题.下列命题中，真命题的是 ( )
A． B． C． D．
10. 对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 ( )
A． B． C． D．
11. 已知为上的任意实数，函数，，．
则以下结论：
①对于任意，总存在，，使得；
②对于任意，总存在，，使得；
③对于任意的函数，，总存在，使得；
④对于任意的函数，，总存在，使得．
其中正确结论的序号是( )．（填上你认为正确的全部答案序号）
A. . ①④ B．ƒ C．‚ƒ D． ①④
12. 所示，由直线及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，
,恒成立,
则实数等于
A. B. C. D.
二、填空题:
13．若 ．
14．已知实数满足则的最大值为 ．
15．在的二项开放式中，含的奇次幂的项之和为，则当时，等于 ．
16．巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，
它们在同一坐标系内的图象如右图所示.
①若，则 .
②设函数，则的大小关系为 ．(用“” 连接）
三、解答题：
17．甲、乙两名同学参与“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成果（单位：分）如下表：

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成果的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成果中各随机抽取一个成果进行分析，设抽到的两个成果中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望．

18．已知正数，，满足．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

19．已知，的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）解关于的不等式.

20．已知函数，.
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）推断函数的零点个数，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列满足：，，且．若不等式在时恒成立，求实数的最小值.

德化一中2021年春季高二数学（理科）周练14(参考答案）
班级______ 座号______ 姓名_________ 成果_________
B C ACDD C A D B A.C
13． ； 14．； 15．； 16． ①1； ②
17．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成果大于甲的平均成果，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分
8
7
5
6
9
8
2
6
甲
乙

5
5
7
2
5
8
5
（Ⅱ）随机变量的全部可能取值为．
，，
，…………………10分
随机变量的分布列是：

．…………………………………………………13分
18．解：（Ⅰ）由柯西不等式，，
即有，……………………………………………………………………2分
又、、是正数，
即的最大值为6，
当且仅当，即当时取得最大值．……………………………4分
（Ⅱ）由于，
由题意及（Ⅰ）得，，得或.
综上，实数的取值范围为或.……………………………………………7分
19．解：（Ⅰ）， 1分
①
而 ② 2分
③ 3分
当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立；
则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. 4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，
， 5分
解得 6分
原不等式的解集为. 7分
20．解:（Ⅰ），……………………………1分
，又，
所以函数在的切线方程为，即.………4分
（Ⅱ）
当时，所以在单调递减；
当时，所以在单调递增；
所以 时，.……………………………………………5分
①当，即时，的零点个数为0；
②当，即时，的零点个数为1；
③当即时，此时，，
（或）
由于在定义域上连续，由零点存在定理及的单调性，
知在有且只有一个零点，在有且只有一个零点，
所以时，的零点个数为2.
综上所述，当时，的零点个数为2；时，的零点个数为1；时，的零点个数为0. …………………………………………………………………9分
(Ⅲ)当时，有.
所以.………………………10分
接下来证明:.
由(I)知，函数在的切线方程为.
而当时，成立.
所以，当时,有………………12分
所以，
所以，当时，的最大值为.
再由(II)知，得
所以的最小值为.……………………………………………………………14分

德化一中2021年春季高二数学（理科）周练14(老师版）
班级______ 座号______ 姓名_________ 成果_________
一、选择题：
1． 随机变量，则=( B )
Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718
（参考数据：，，）
2.若（为虚数单位），则的值为( C )
A. B. C. D.
3.设,则( A )．
A. 31 B. 35 C. 42 D. 28
4．一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球.若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有( C )种.
A. 27 B. 35 C. 45 D. 60
5.下列推断不正确的是( D )
A．若，则
B．命题“”的否定是“”
C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样
D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等
6.在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下
列所给图象中可能正确的是 ( D )

A B C D

7．设点（）是区域内的任意一点，则函数在区间上是增函数的概率为( C )
A． B． C． D．
8. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角
形面积为 ( A )
B． B． C． 1 D． 2
9．命题函数在上的值域为；命题.下列命题中，真命题的是 ( D )
A． B． C． D．
10. 对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 ( B )
A． B． C． D．
11. 已知为上的任意实数，函数，，．
则以下结论：
①对于任意，总存在，，使得；
②对于任意，总存在，，使得；
③对于任意的函数，，总存在，使得；
④对于任意的函数，，总存在，使得．
其中正确结论的序号是( A )．（填上你认为正确的全部答案序号）
A. . ①④ B．ƒ C．‚ƒ D． ①④
12. 所示，由直线及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，
,恒成立,
则实数等于( C )．
A. B. C. D.
二、填空题:
13．若 ．
14．已知实数满足则的最大值为 ．
15．在的二项开放式中，含的奇次幂的项之和为，则当时，等于 ．
16．巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，
它们在同一坐标系内的图象如右图所示.
①若，则 .
②设函数，则的大小关系为 ．(用“” 连接）
①1； ②

三、解答题：
17．甲、乙两名同学参与“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成果（单位：分）如下表：

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成果的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成果中各随机抽取一个成果进行分析，设抽到的两个成果中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望．
解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成果大于甲的平均成果，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分
8
7
5
6
9
8
2
6
甲
乙

5
5
7
2
5
8
5
（Ⅱ）随机变量的全部可能取值为．
，，
，…………………10分
随机变量的分布列是：

．…………………………………………………13分
18．已知正数，，满足．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）由柯西不等式，，
即有，……………………………………………………………………2分
又、、是正数，
即的最大值为6，
当且仅当，即当时取得最大值．……………………………4分
（Ⅱ）由于，
由题意及（Ⅰ）得，，得或.
综上，实数的取值范围为或.……………………………………………7分
19．已知，的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）解关于的不等式.
解：（Ⅰ）， 1分
①
而 ② 2分
③ 3分
当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立；
则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. 4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，
， 5分
解得 6分
原不等式的解集为. 7分

20．已知函数，.
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）推断函数的零点个数，并说明理由；
解:（Ⅰ），……………………………1分
，又，
所以函数在的切线方程为，
即.……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）
当时，所以在单调递减；
当时，所以在单调递增；
所以 时，.……………………………………………5分
①当，即时，的零点个数为0；
②当，即时，的零点个数为1；
③当即时，此时，，
（或）
由于在定义域上连续，由零点存在定理及的单调性，
知在有且只有一个零点，在有且只有一个零点，
所以时，的零点个数为2.
综上所述，当时，的零点个数为2；时，的零点个数为1；时，的零点个数为0. …………………………………………………………………9分
(Ⅲ)当时，有.
所以.………………………10分
接下来证明:.
由(I)知，函数在的切线方程为.
而当时，成立.
所以，当时,有………………12分
所以，
所以，当时，的最大值为.
再由(II)知，得
所以的最小值为.……………………………………………………………14分