资源描述
匀变速直线运动的规律及应用
基础自测
一、匀变速直线运动：沿着一条直线，且加速度保持不变的运动．分为匀加速直线运动（a与v同方向）和匀减速直线运动（a与v反向）
二、匀变速直线运动的规律：
1.一个定义式：
2.两个基本规律：① 速度公式：v = v0 + at；② 位移公式：x = v0t + at2/2
3.三个重要推论：
① 做匀变速直线的物体在连续相等的相邻时间间隔T内的位移差等于恒量，即
说明：
② 做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度，即v平均 = vt/2 = (v0 + vt)/2； 【匀变速直线运动的某段位移中点的瞬时速度 vx/2 = 】
说明：无论匀加速还是匀减速直线运动都有
③位移速度关系式：v2t – v02 =2ax
4.初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律：
⑴ 在1T末，2T末，3T末，…，nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn = 1∶2∶3∶…∶n
⑵ 在1T内，2T内，3T内，…，nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn = 12∶22∶32∶…∶n2
⑶ 在第1个T内，第2个T内，第3个T内，…，第n个T内的位移之比为：xⅠ∶xⅡ∶x Ⅲ∶…∶xN =1∶3∶5∶…∶(2n – 1)
⑷ 从静止开头通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn = 1∶(–1)∶(–)∶…∶(– )
实例指导
【例1】依据给出的速度和加速度的正负，对物体运动性质的推断正确的是（ ）
A．v > 0，a < 0，物体做加速运动 B．v < 0，a < 0，物体做加速运动
C．v < 0，a > 0，物体做减速运动 D．v > 0，a >0，物体做加速运动
BCD；速度和加速度都是矢量，若二者符号相同，物体就做加速运动，故B、D正确；若二者符号相反，物体就做减速运动，故A错误，C正确．
【变式跟踪1】一物体由静止开头沿光滑斜面做匀加速直线运动，运动6秒到达斜面底端，已知斜面长为18米，则：
⑴ 物体在第3秒内的位移多大？
⑵ 前3秒内的位移多大？
⑴ 第1 s，第2 s，第3 s……第6 s内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，因此第3秒内的位移xⅢ = ×18 m = 2.5 m，
⑵ 将6 s的时间分成2个3 s，前3 s内的位移x3＝×18 m＝4.5 m.
【例2】珠海航呈现场空军八一飞行表演队两架“歼-10”飞机表演剪刀对冲，上演精彩空中秀．质量为m的“歼-10”飞机表演后返回某机场，降落在跑道上减速过程简化为两个匀减速直线运动．飞机以速度v0着陆后马上打开减速阻力伞，加速度大小为a1，运动时间为t1；随后在无阻力伞状况下匀减速直至停下．在平直跑道上减速滑行总路程为x．求：其次个减速阶段飞机运动的加速度大小和时间．
如图，A为飞机着陆点，AB、BC分别为两个匀减速运动过程，C点停下．A到B过程，依据运动学规律有：x1 = v0t1– a1t12，v B = v0 – a1t1，B到C过程，依据运动学规律有：x2 = vBt2 – a2t22，0 = v B – a2t2，A到C过程，有：x = x1 + x2，联立解得：a2 = (v 0 – a1t1)2/(2x + a1t12 – 2 v0t1) t2 = (2x + a1t12 – 2v0t1)/( v 0 – a1t1)
【变式跟踪2】如图所示是某型号全液体燃料火箭放射时第一级发动机工作时火箭的a – t图象，开头时的加速度曲线比较平滑，在120 s的时候，为了把加速度限制在4g以内，第一级的推力降至60%，第一级的整个工作时间为200s．由图线可以看出，火箭的初始加速度为15 m/s2，且在前50 s内，加速度可以看做均匀变化，试计算：
⑴ t = 50 s时火箭的速度大小；
⑵ 假如火箭是竖直放射的，在前看成匀加速运动，则时离地面的高度是多少？假如此时有一碎片脱落，不计空气阻力，碎片将需多长时间落地？（取g = 10 m/s2，结果可用根式表示）
⑴ 由于在前50 s内，加速度可以看做均匀变化，则加速度图线是倾斜的直线，它与时间轴所围的面积就表示该时刻的速度大小，所以有：v = (1/2)(15＋20)×50 m/s = 875 m/s．
⑵ 假如火箭是竖直放射的，在t = 10 s前看成匀加速运动，则t = 10 s时离地面的高度是h=at2/2 =(1/2)×15×102 m = 750 m，假如有一碎片脱落，它的初速度v1＝at＝150 m/s，离开火箭后做竖直上抛运动，有－h = v1t－gt2，代入数据解得t＝5(3＋) s，t′＝5(3－) s舍去．
【例3】一辆汽车以10 m/s的速度沿平直的大路匀速前进，因故紧急刹车，加速度大小为0.2 m/s2，则刹车后汽车在1 min内通过的位移大小为（ ）
A．240 m B．250 m C．260 m D．90 m
B；因汽车刹车后始终做匀减速直到运动速度为零为止，所以t = v0/a = 50 s，所以汽车刹车后在1 min内通过的位移为x = v0t/2 = 250 m．
【变式跟踪3】一辆公共汽车进站后开头刹车，做匀减速直线运动，开头刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m，则刹车后6 s内的位移是（ ）
A．20 m B．24 m C．25 m D．75 m
C；因汽车做匀减速直线运动．由x = v0t＋at2得 9＝v0×1－a×12，9＋7＝v0×2－a×22，解得v0 = 10 m/s，a = 2 m/s2．汽车从刹车到停止所需时间t = v0/a = 5s；刹车后6 s内的位移即5 s内的位移x = v0t – at2，代入数据解得x = 25 m．
【例4】（2021广东高考）某航母跑道长200m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6m/s2，起飞需要的最低速度为50m/s．那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为 （ B ）
A．5m/s B．10m/s C．15m/s D．20m/s
【猜想1】中国首架空客A380大型客机在最大重量的状态下起飞需要滑跑距离约3000m，着陆距离大约为2000m．设起飞滑跑和着陆时都是匀变速运动，起飞时速度是着陆时速度的1.5倍，则起飞滑跑时间和着陆滑跑时间之比是 （ ）
A．3∶2 B．1∶1 C．1∶2 D．2∶1
B；由x = vt/2解得起飞滑跑时间和着陆滑跑时间之比是 t1:t2 =(x1/x2)(v2/v1) =1∶1，选项B正确．
【例5】（2021全国卷大纲版）一客运列车匀速行驶，其车轮在铁轨间的接缝处会产生周期性撞击．坐在该客车中的某旅客测得从第1次到第16次撞击声之间的时间间隔为10.0s．在相邻的平行车道上有一列货车，当该旅客经过货车车尾时，货车恰好从静止开头以恒定加速度沿客车行进方向运动．该旅客在此后的20.0s内，看到恰好有30节货车车厢被他连续超过．已知每根铁轨的长度为25.0m，每节货车车厢的长度为16.0m，货车车厢间距忽视不计．求：
⑴ 客车运行速度的大小； ⑵ 货车运行加速度的大小
⑴ 设连续两次撞击铁轨的时间间隔为Δt，每根铁轨长度为l，则客车速度为v = l/Δt，其中l = 25.0m、Δt = 10.0/(16–1) s 得 v = 37.5m/s．
t/s
v/m·s-1
0
30
100
40
300
50
400
50
500
60
550
70
600
80
⑵ 设从货车开头运动后t = 20.0s内客车行驶了s1米，货车行驶了s2米，货车加速度为a，30节货车车厢的总长度为L = 30×16.0m．由运动学公式有 s1 = vt、s2 = at2/2，由题给条件有L = s1 – s2，联立上述各式，并代入数据解得a = 1.35m/s2．
【猜想2】小明同学乘坐“和谐号”动车组，发觉车厢内有速率显示屏．当动车组在平直轨道上经受匀加速、匀速与再次匀加速运行期间，他记录了不同时刻的速率，部分数据列于表格中．已知动车组的总质量M = 2.0×105kg，假设动车组运动时受到的阻力是其重力的0.1倍，取g = 10m/s2．在小明同学记录动车组速率这段时间内，求：
⑴ 动车组的加速度值；
⑵ 动车组牵引力的最大值；
⑶ 动车组位移的大小．
v/m·s-1
t/s
100
200
300
400
500
600
20
40
60
80
⑴ 通过记录表格可以看出，动车组有两个时间段处于加速状态，设加速度分别为a1、a2，由 a =Δv/Δt 代入数据后得a1 = 0.1m/s2、a2 = 0.2m/s2．
⑵ 由牛顿其次定律 F - Ff = Ma，Ff = 0.1Mg当加速度大时，牵引力也大．代入数据得 F = Ff + Ma2 = 2.4×105N．
⑶ 通过作出动车组的 v – t图可知，第一次加速运动的结束时刻是200s，其次次加速运动的开头 时刻是450s．x1 =[ (v1 + v2)/2]t1、x2 = v2t2、x3 = [ (v2 + v3)/2]t3、x = x1 + x2 + x3，代入数据解得x = 30250m．
随堂演练
1．一个物体从静止开头做匀加速直线运动．它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2．以下说法正确的是 （ ）
A．x1∶x2 = 1∶3，v1∶v2 = 1∶2 B．x1∶x2 = 1∶3，v1∶v2 = 1∶
C．x1∶x2 = 1∶4，v1∶v2 = 1∶2 D．x1∶x2 = 1∶4，v1∶v2 = 1∶
B；由xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n – 1)知x1∶x2＝1∶3，由x＝at2知t1∶t2＝1∶，又v＝at可得v1∶v2＝1∶，正确．
2．某做匀加速直线运动的物体初速度为2 m/s，经过一段时间t后速度变为6 m/s，则 t/2时刻的速度为（ ）
A．由于t未知，无法确定 t/2时刻的速度 B．5 m/s
C．由于加速度a准时间t未知，无法确定t/2时刻的速度 D．4 m/s
D；中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度，即vt/2 = (v0 + v)/2 = 4 m/s
3．科技馆里有一个展品，该展品放在暗处，顶部有一个不断均匀向下喷射水滴的装置，在频闪光源的照射下，可以看到水滴好像静止在空中固定的位置不动，如图所示．某同学为计算该装置喷射水滴的时间间隔，用最小刻度为毫米的刻度尺测量了空中几滴水间的距离，由此可计算出该装置喷射水滴的时间间隔为（g取10 m/s2）（ ）
A．0.01 s B．0.02 s C．0.1 s D．0.2 s
C；自上而下第一、二和三点之间的距离分别为x1 = (10.00 – 1.00)×10－2 m = 9.00×10－2 m，x2 = (29.00 – 10.00)×10－2 m＝19.00×10－2 m，依据公式Δx = aT2得x2–x1 = gT2，故T = 0.1 s．
4．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最终1 s内的位移是（ ）
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
B；设加速度大小为a，则开头减速时的初速度大小为v0＝at＝4a，第1 s内的位移是x1＝v0t1－at12＝3.5a = 14 m，所以a＝4 m/s2，物体最终1 s的位移是x＝at22＝2 m．本题也可以接受逆向思维的方法，把物体的运动看做是初速度为零的匀加速直线运动，其在连续相邻相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m．
5．沙尘暴天气会严峻影响交通．有一辆卡车以54 km/h的速度匀速行驶，司机突然模糊看到正前方十字路口一个老人跌倒（若没有人扶起他），该司机刹车的反应时间为0.6 s，刹车后卡车匀减速前进，最终停在老人前1.5 m处，避开了一场事故．已知刹车过程中卡车加速度大小为5 m/s2，则（ ）
A．司机发觉状况后，卡车经过3 s停下
B．司机发觉状况时，卡车与该老人的距离为33 m
C．从司机发觉状况到停下来的过程，卡车的平均速度为11 m/s
D．若卡车的初速度为72 km/h，其他条件都不变，则卡车将撞到老人
BD；v0＝15 m/s，故刹车后卡车做匀减速运动的时间t2 = v0/a = 3 s，故卡车经过3.6 s停下来，A错误；卡车与该老人的距离x＝v0t1 + v02/2a＋Δx＝33 m，B正确；v平 = (x –Δx)/(t1 + t2) ＝8.75 m/s，C错误；x′ = v′t1 + v′2/2a = 52 m > 33 m，所以D正确．
6．从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v，则下列说法正确的是 （ ）
A．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2v
B．两物体在空中运动的时间相等
C．A上升的最大高度与B开头下落时的高度相同
D．两物体在空中同时达到的同一高度处确定是B开头下落时高度的中点
AC；设两物体从下落到相遇的时间为t，竖直上抛物体初速度为v0，由题gt = v0 – gt = v 得v0=2v．故A 正确．依据竖直上抛运动的对称性可知，B自由落下到地面的速度为2v，在空中运动时间为tB = 2v/2g，A竖直上抛，在空中运动时间tA = 2×(2v/g) = 4v/g．故B错误．物体A能上升的最大高度hA = (2v)2/2g，B开头下落的高度hB=g(2v/g)2/2，明显两者相等．故C正确．两物体在空中同时达到同一高度为h = gt2/2 = g(v/g)2/2 = v2/2g = hB/4．故D错误．故选AC
7．一条东西方向的平直大路边上有两块路牌A、B，A在西B在东，一辆匀速行驶的汽车自东向西经过B路牌时，一只小鸟恰自A路牌向B匀速飞去，小鸟飞到汽车正上方马上折返，以原速率飞回A，过一段时间后，汽车也行驶到A．以向东为正方向，它们的位移-时间图像如图所示，图中t2 = 2t1 ，由图可知（ ）
A．小鸟的速率是汽车速率的两倍 B．相遇时小鸟与汽车位移的大小之比是3:1
C．小鸟飞行的总路程是汽车的1.5倍 D．小鸟和汽车在0－t2 时间内位移相等
BC；设AB之间的距离为L，小鸟的速率是v1，汽车的速率是v2，小鸟从动身到与汽车相遇的时间与返回的时间相同，故它们相向运动的时间为t1/2，则在小鸟和汽车相向运动的过程中有v1t1/2 + v2t1/2 = L，即（v1 + v2）t1/2 = L，对于汽车来说有v2t2 = L；联立以上两式可得v1 =3 v2，故A错误B正确．汽车通过的总路程为x2 = v2t2，小鸟飞行的总路程为x1 = v1t1=3 v2×(t2/2) = (3/2)x2，故C正确．小鸟回到动身点，故小鸟的位移为0，故D错误．故选BC．
8．汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动产生明显的滑动痕迹，即常说的刹车线．由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度大小，因此刹车线的长度是分析交通事故的一个重要依据．若某汽车刹车后至停止的加速度大小为7 m/s2，刹车线长为14 m，求：
⑴ 该汽车刹车前的初始速度v0的大小；
⑵ 该汽车从刹车至停下来所用的时间t0；
⑶ 在此过程中汽车的平均速度．
⑴ 由题意依据运动学公式v2 – v20 = 2ax得– v20 = 2ax 代入数据解得v0 = 14 m/s．
⑵ 法1：由得；法2：(逆过程) 由x = at02 得
⑶ 法1：v平均 = x/t = 7 m/s；法2：v平均 = (v0 + v)/2 = 7 m/s．
9.物体以确定的初速度v0冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰为零，如图所示．已知物体第一次运动到斜面长度3/4处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
法1（比例法）：对于初速度为0的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为 x1∶x2∶x3∶…∶xn = 1∶3∶5∶…∶(2n – 1)，现有xBC∶xAB = (xAC/4)∶(3xAC/4) = 1∶3，通过xAB的时间为t，故通过xBC的时间tBC = t．
法2（中间时刻速度法）：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度．vAC = (v0 + 0)/2 = v0/2，又v02 = 2axAC ① vB2 = 2axBC② xBC = xAC/4 ③ 解①②③得：vB = v0/2，可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置．因此有tBC = t．
法3（利用有关推论）：对于初速度为0的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为 t1∶t2∶t3∶…∶tn = 1∶(-1)∶(-)∶(-)∶…∶(-)．现将整个斜面分成相等的四段，如图所示．设通过BC段的时间为tx，那么通过BD，DE，EA的时间分别为：tBD = (-1)tx，tDE = (-)tx，tEA = (2-)tx，又tBD + tDE + tEA = t，得tx = t．
10.(2021安徽省六校教学争辩会联考)歼—15 战机是我国自行设计研制的首型舰载多用途歼击机， 短距起飞力气强大。若歼—15 战机正常起飞过程中加速度为 a ，经 s 距离就达到起飞速度腾空而起。现已知“辽宁”舰起飞甲板长为 L(L s) ，且起飞过程可简化为匀加速直线运动。现有两种方法助其正常起飞， 方法一：在航空母舰静止的状况下，用弹射系统给飞机以确定的初速度；方法二：起飞前先让航空母舰沿飞机起飞方向以某一速度匀速航行。
求:(1)方法一状况下弹射系统使飞机具有的最小速度 v1m ；
(2)方法二状况下航空母舰的最小速度及此过程中的位移.
解析：（1）设飞机起飞速度为v，则有v2=2as。
联立解得
（2）（2）设其次种方法中起飞过程经受时间为 t ，则
飞机位移 航空母舰位移，位移关系：x1-x2=L，
联立解得：.
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