【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第4章-第3节-三角恒等变形.docx

第四章　第三节

一、选择题
1．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则sin2α＝(　　)
A．－1　 B．－
C．　 D．1
[答案]　A
[解析]　将sinα－cosα＝两端同时平方得，(sinα－cosα)2＝2，
整理得1－2sinαcosα＝2，
于是sin2α＝2sinαcosα＝－1，故选A．
2．假如cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于(　　)
A．－　 B．
C．－a　 D．a
[答案]　C
[解析]　sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－A．
3．已知tanα＝，则等于(　　)
A．3　 B．6
C．12　 D．
[答案]　A
[解析]　＝＝2＋2tanα＝3.故选A．
4．(文)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝(　　)
A．－　 B．
C．－　 D．
[答案]　A
[解析]　由于α是第三象限角且cosα＝－，
∴sinα＝－，
∴sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin
＝(－－)＝－.
(理)若sinα＝，α∈(－，)，则cos(α＋)＝(　　)
A．－　 B．－
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　由α∈(－，)，sinα＝可得cosα＝，
由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋)＝－(cosα－sinα)＝－，故选B．
5．4cos50°－tan40°＝(　　)
A．　 B．
C．　 D．2－1
[答案]　C
[解析]　本题考查非特殊角三角函数的求值问题．
4cos50°－tan40°＝
＝＝
＝
＝
＝＝.
6．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．
C．　 D．1＋
[答案]　C
[解析]　f(x)＝＋sin2x＝sin＋，
又x∈，∴2x－∈，
f(x)max＝1＋＝，故选C．
二、填空题
7．(2022·陕西高考)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查向量垂直、向量坐标运算等．
∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.
又0<θ<，
∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.
8．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈，
则β＝________.
[答案]　
[解析]　∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sinα＝，sin(α＋β)＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，
∵0<β<，∴β＝.
9．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________．
[答案]　π
[解析]　f(x)＝sin(2x－)－2sin2x
＝sin(2x－)－(1－cos2x)
＝sin(2x－)＋cos2x－
＝sin2xcos－cos2xsin＋cos2x－
＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－，
所以T＝＝＝π.
三、解答题
10．(文)(2022·江西高考)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f()＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f()＝－，α∈(，π)，求sin(α＋)的值．
[解析]　(1)∵f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数
∴f(0)＝0，即(a＋2)·cosθ＝0 ①
又∵f()＝0，
∴(a＋2·)·cos(＋θ)＝0，
即－(a＋1)sinθ＝0 ②.
∵θ∈(0，π)，∴sinθ≠0
由②可知，a＝－1，
代入①得cosθ＝0.∴θ＝.
∴a＝－1，θ＝.
(2)∵a＝－1，θ＝，
∴f(x)＝(－1＋2cos2x)cos(2x＋)
＝(－1＋2cos2x)(－sin2x)
＝－cos2x·sin2x
＝－sin4x.
∵f()＝－，
∴－·sin(4·)＝－，
∴sinα＝.
∵α∈(，π)，∴cosα<0，∴cosα＝－，
∴sin(α＋)＝sinα·cos＋cosα·sin
＝·－·＝.
(理)(2022·广东高考)已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
[解析]　(1)f()＝Asin(＋)＝，
∴A×＝，
∴A＝.
(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，
∴[(sinθ＋cosθ)＋(－sinθ＋cosθ)]＝.
∴cosθ＝，∴cosθ＝，
又∵θ∈(0，)，∴sinθ＝＝，
∴f(π－θ)＝sin(π－θ)＝sinθ＝.

一、选择题
1．(文)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝，
∴tan(A＋B)＝＝，即＝.
解得tanAtanB＝，故选B．
(理)若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于(　　)
A．－　 B．－
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　∵sin＝－，－β∈
∴－β＝－①
∵cos＝，α，β∈，
∴α－∈，∴α－＝－或②
由①②有或(舍去)，
∴cos(α＋β)＝cos＝－.
2．已知向量a＝(sin(α＋)，1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)＝(　　)
A．－　 B．－
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.故选B．
二、填空题
3．(2022·全国大纲卷)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．
[答案]　
[解析]　本题考查三角函数的性质及三角恒变换．
y＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，
当sinx＝时，ymax＝.
4．函数y＝sinsin的最小正周期T＝______.
[答案]　π
[解析]　解法1：f(x)＝sinsin
＝－
＝－cos＋.∴T＝π.
解法2：y＝cosx
＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，∴T＝π.
三、解答题
5．(文)已知函数f(x)＝cos(x－)，x∈R.
(1)求f()的值；
(2)若cosθ＝，θ∈(，2π)，求f(θ－)．
[解析]　(1)f()＝cos(－)＝cos＝1.
(2)∵cosθ＝，θ∈(，2π)，∴sinθ＝－＝－.
∴f(θ－)＝cos(θ－)
＝(cosθcos＋sinθsin)＝－.
(理)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．
[解析]　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得
x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f＝2cos2α，得tan＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
由于α∈，所以sinα＋cosα≠0.
因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.
由α∈，得2α∈.
所以2α＝，即α＝.
6．已知π<α<π，tanα＋＝－.
求的值．
[解析]　∵tanα＋＝－，
∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，
解得tanα＝－3或tanα＝－.
又∵<α<π，∴tanα＝－.
∴
＝
＝
＝＝＝－.