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课时作业65 归纳与类比
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推想各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推想空间四周体的性质
C．平行四边形的对角线相互平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线相互平分
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)，由此归纳出{an}的通项公式
解析：A、D是归纳推理，B是类比推理；C运用了“三段论”是演绎推理．
答案：C
2．设⊕是R的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
解析：A错：由于自然数集对减法、除法不封闭；B错：由于整数集对除法不封闭；C对：由于任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：由于无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
答案：C
3．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N＋)，猜想f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：由f(1)＝1，则f(2)＝＝，
f(3)＝＝＝＝，
f(4)＝＝＝.
猜想f(x)＝.
答案：B
4．(2022·临沂模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a2 009＋a2 010＋a2 011等于( )
A．1 003 B．1 005
C．1 006 D．2 011
解析：观看点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．
则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.
又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1，
∴a2 009＝503，a2 011＝－503，a2 010＝1 005，
∴a2 009＋a2 010＋a2 011＝1 005.
答案：B
5．(2022·太原模拟)如图是2022年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
解析：观看题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.
答案：A
6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数，R为实数集，C为复数集)：
①“a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；
②“a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；
④“x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．
其中类比结论正确的个数有( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：类比结论正确的只有①②.
答案：B
7．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对同学观看力气，概括归纳推理的力气的考查．
答案：D
8．(2022·江西理，6)观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·山东省试验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，则a1＋a2≤”的证明过程：证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，由于对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
依据上述证明方法，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论为____________________(不必证明)．
解析：依据题，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，则有f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，Δ＝[－2(a1＋a2＋…＋an)]2－4n＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，即有a1＋a2＋…＋an≤.
答案：a1＋a2＋…＋an≤
10．(2021·湖北理，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家争辩过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
………………………………………
可以推想N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：k＝3时，第n个数为1＋2＋3＋…＋n；k＝4时，第n个数为1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)；k＝5时，第n个数为1＋4＋7＋…＋(3n－2)；k＝6时，第n个数为1＋5＋9＋…＋n＋(4n－3)；k边形中第n个数为1＋(k－1)＋(2n－3)＋…＋[1＋(n－1)(k－2)]＝n＋·(k－2)，则n＝10，k＝24时，N(10,24)＝10＋×22＝1 000.
答案：1 000
11．(2022·汕头检测)已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推想a、t的值，则a－t＝______.
解析：类比等式可推想a＝6，t＝35，则a－t＝－29.
答案：－29
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．给出下面的数表序列：
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8 …
12
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)
解：表4为
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成首项为n，公比为2的等比数列．
13．观看下表：
1，
2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
…
问：(1)此表第n行的最终一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2 013是第几行的第几个数？
解：(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，
∴第n行的最终一个数是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·22n－3－2n－2.
(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 013<2 048，
∴2 013在第11行，该行第1个数是210＝1 024，
由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990个数．
14．(2022·南昌一模)将各项均为正数的数列{an}中的全部项按每一行比上一行多一项的规章排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数a1，a2，a4，a7，…，构成数列{bn}，各行的最终一个数a1，a3，a6，a10，…，构成数列{cn}，第n行全部数的和为Sn(n＝1,2,3,4，…)．已知数列{bn}是公差为d的等差数列，从其次行起，每一行中的数依据从左到右的挨次每一个数与它前面一个数的比是常数q，且a1＝a13＝1，a31＝.
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
…
(1)求数列{cn}，{Sn}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和Tn的表达式．
解：(1)bn＝dn－d＋1，前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝个数，由于13＝＋3，所以a13＝b5×q2，
即(4d＋1)q2＝1，又由于31＝＋3，所以a31＝b8×q2，
即(7d＋1)q2＝，解得d＝2，q＝，
所以bn＝2n－1，cn＝bn()n－1＝，
Sn＝
＝(2n－1)·.
(2)Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋.②
①②两式相减，得
Tn＝1＋2(＋＋…＋)－
＝1＋2×－＝2－，
所以Tn＝3－.
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