资源描述
保密★启用前 试卷类型：A
2021—2022学年第一学期期中考试
高三文科数学试题
留意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟，
满分150分．
2．把选择题选出的答案标号涂在答题卡上．
3．第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答，否则不予评分．
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
2．要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
3．若数列的通项公式是，则 （ ）
A．－12 B．12 C．－15 D．15
4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．设等差数列的前项和为．若，，则当取最小值时，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知为第四象限角，，则= （ ）
A． B． C． D．
7． 如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若,则（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若， 且，则（ ）
A．30° B．45° C． 60° D．90°
9．设是一个三次函数，为其导函数，如图所示是函数的图像的一部分，则的极大值与微小值分别为（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“亲热函数”，称为“亲热区间”．设与在上是“亲热函数”，则它的“亲热区间”可以是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．设单位向量，，满足，则 ．
12．已知，则 ．
13．设函数，则使得成立的的取值范围是 ．
14．已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则 ．
15．给出下列命题：
①函数是奇函数；
②存在实数，使得；
③若，是第一象限角，且，则；
④是函数的一条对称轴；
⑤函数的图象关于点成中心对称图形．
其中正确的序号为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）在中，分别是角的对边，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求面积的最大值．
17．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．
18．（本小题满分12分）已知等差数列的公差，前项和为．若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
19．（本小题满分12分）已知数列各项均为正数，其前项和满足（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和．
20．（本小题满分13分）已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过定点的动直线与椭圆相交两点，求的面积的最大值（为坐标原点），并求此时直线的方程．
21．（本小题满分14分）已知函数．（）
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围；
（3）设，．当时，若对于任意，存在，使，求实数的取值范围．
2021—2022学年第一学期期中考试
高三文科数学试题答案
B BD C A A DB C C
11． 12． -4 13． 14． 16 15． ①④
16.(1) B＝π. (2)
17.（1）的最小值为，最小正周期为.
（2）．
18. （1）.
（2）=.
由于，所以.
由于，即是递增数列，所以.
所以.
19. （1）
（2） .
20.（1）（2），
21. （1）
（2）令，则的定义域为（0，+∞）.
在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立.
①
①若，令，得极值点，
当，即时，在（，1)上有，在（1，)上有，在（，+∞)上有，此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，)，不合题意；
当，即时，同理可知，在区间(1，)上，有
∈(，)，也不合题意；
② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，
从而在区间(1，+∞)上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是[，].
综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方.
(3)当时，由（Ⅱ）中①知在（，1)上是增函数，在（1，2)上是减函数，所以对任意，都有，
又已知存在，使,即存在，使,即存在，，即存在，使.
由于，所以，解得，所以实数的取值范围是.
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