高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章-夹角的计算-参考教案2.docx

2.5 夹角的计算 教案
一、教学目标：
能用向量方法解决二面角的计算问题
二、教学重点：二面角的计算
教学难点：二面角的计算
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、二面角的定义及求解方法
2、平面的法向量的定义
（二）、探析新课
利用向量求二面角的大小。
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（留意：要特殊关注两个向量的方向）
如图：二面角α-l-β的大小为θ，
A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l
则θ=<, >=<, >
方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。
如图：已知二面角α-l-β，在α内取一点P，
过P作PO⊥β，及PA⊥l,连AO，
则AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角
用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO

P
A
B
l
求出∠PAO。
方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。
如图（1）P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，
PB⊥β，则∠APB与二面角的平面角互补。
（三）、学问运用
1、例3 在正方体中,求二面角的大小。
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，
建立如图所示坐标系D-xyz
（法一）,

（法二）求出平面与平面的法向量

2、例4 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角的大小。
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
（1）

A1D与EF所成角是
（2）,

（3）,，
二面角的正弦值为
（四）、回顾总结：
1、二面角的向量解法；
2、法向量的夹角与二面角相等或互补的推断。
（五）、布置作业：课本习题2-5中2；练习册59中2、4、6
五、教后反思：