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课时提升作业(十三)
简洁的幂函数
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.下列函数为幂函数的是( )
A.y=2x3-1 B.y=2x
C.y=1x2 D.y=2x2
【解析】选C.y=1x2=x-2符合幂函数的特征.
2.(2022·重庆高一检测)函数f(x)=(x-1)0-1是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
【解析】选D.定义域为{x|x≠1},不关于原点对称.
【误区警示】本题易毁灭未考虑定义域,而造成选C的错误.
3.(2022·高安高一检测)f(x)=x3+1x的图像关于( )
A.原点对称 B.y轴对称
C.y=x对称 D.y=-x对称
【解题指南】验证函数的奇偶性.
【解析】选A.函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=(-x)3+1-x
=-x3-1x=-f(x),从而可知答案.
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选A.f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-(2×1+1)=-3.
【举一反三】若把“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”,结果如何?
【解析】f(1)=f(-1)=2×(-1)2-(-1)=2+1=3.
5.(2022·台州高一检测)假如幂函数y=(m2-9m+19)x2m-7的图像不过原点,
则( )
A.m<72 B.m=3
C.m=3或6 D.m不存在
【解析】选B.由题意知m2-9m+19=1,2m-7≤0,得m=3.
6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是( )
A.f(x)=x(x-2) B.f(x)=|x|(|x|-2)
C.f(x)=|x|(x-2) D.f(x)=x(|x|-2)
【解析】选D.设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+2x.
又由于f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-x2-2x,x<0.
所以f(x)=x(|x|-2),x∈R.
【变式训练】已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x+1,求当x<0时,f(x)的解析式.
【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x+1.
又由于函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x)=--x-1.
因此,当x<0时,
f(x)的解析式为f(x)=--x-1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
【解析】f(x)=x2+(a-4)x-4a,
由于f(-x)=f(x),
所以(-x)2-(a-4)x-4a=x2+(a-4)x-4a,
即2(a-4)x=0,所以a=4.
答案：4
【一题多解】f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,
由于f(-x)=f(x),
所以y=f(x)关于y轴对称,
所以x=-a-42=0,所以a=4.
【变式训练】函数y=(a2-1)x2+(a-3)x+1是偶函数,则a= .
【解析】由于y=f(x)是偶函数,
所以y=f(x)的图像关于y轴对称,
所以x=-a-32(a2-1)=0,所以a=3.
答案：3
8.(2022·榆林高一检测)幂函数f(x)的图像经过点(-2,4),则f(3)= .
【解析】设f(x)=xa,由于f(-2)=(-2)a=4,所以a=2,
所以f(x)=x2,所以f(3)=9.
答案：9
9.(2022·黄冈高一检测)已知函数f(x)=ax7+bx-3,若f(2022)=10,则f(-2022)= .
【解题指南】把f(2022), f(-2022)分别代入,找两者之间的关系,可求解.
【解析】由于f(2022)=a×(2022)7+b×2022-3=10,f(-2022)=-a×20227-b×2022-3,
所以f(2022)+f(-2022)=-6=10+f(-2022),
所以f(-2022)=-16.
答案：-16
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.推断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x3+x.
(2)f(x)=3x+1.
(3)f(x)=x6+x4+8,x∈[-2,2).
(4)f(x)=0.
【解析】(1)由于f(x)=x3+x,且x∈R.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x
=-(x3+x)=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)如图：
所以f(x)=3x+1是非奇非偶函数.
(3)由于f(x)=x6+x4+8中,x∈[-2,2),定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(4)由于f(x)=0,x∈R,f(-x)=-f(x)=0,
f(-x)=f(x)=0,
所以f(x)=0既是奇函数又是偶函数.
11.(2022·佛山高一检测)点(2,2)在幂函数f(x)的图像上,点-2,14在幂函数g(x)的图像上,画出y=f(x)与y=g(x)的图像,结合图像回答当x为何值时,有
①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);
③f(x)<g(x).
【解题指南】先由幂函数的定义,求出f(x)与g(x)的解析式,再利用图像推断.
【解析】设f(x)=xα,则由题意得2=(2)α,
所以α=2,
即f(x)=x2,
再设g(x)=xβ,则由题意得14=(-2)β,
所以β=-2,
即g(x)=x-2,
在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图像,如图所示.
由图像可知：
①当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
②当x=±1时,f(x)=g(x);
③当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.函数y=x43的图像是( )
【解析】选A.由于指数为43,所以函数的图像在第一、二象限内,且在第一象限内,当α>1时,图像是向下凸的,过点(1,1)后图像向右上方无限伸展.
2.(2022·惠州高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0,4]上是增加的,则f(-3)和f(π)的大小关系是( )
A.f(-3)>f(π) B.f(-3)≥-f(π)
C.f(-3)<f(π) D.无法确定
【解析】选C.由于f(-3)=f(3),且y=f(x)在[0,4]上是增加的,所以f(3)<f(π),即f(-3)<f(π).
【举一反三】“若把f(x)改为奇函数”结果又如何?
【解析】由于f(-x)=-f(x)且y=f(x)在[0,4]上是增加的,
所以y=f(x)在[-4,0]上也是增加的,
所以y=f(x)在[-4,4]上是增加的,
所以f(-3)<f(π).
3.(2022·瑞金高一检测)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上是增加的是
( )
A.y=x2 B.y=x-1 C.y=x12 D.y=x13
【解析】选D.排解法.A,B易知错误,对于C：y=x12=x定义域不关于原点对称,是非奇非偶函数,D符合.
4.(2021·辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足f(2x-1)<f13的x的取值范围是( )
A.13,23 B.13,23 C.12,23 D.12,23
【解析】选A.当2x-1≥0时,
由题意知13>2x-1,
所以12≤x<23,
当2x-1<0时,f(2x-1)=f(1-2x)<f13,
所以1-2x<13,即13<x<12,
故x∈13,23.
【一题多解】如图：y=f(x)的大致图像为
所以-13<2x-1<13,即13<x<23.
【变式训练】(2022·南郑高一检测)若y=f(x),x∈R满足f(-x)=f(x),且在
(-∞,0]上是削减的,f(2)=0,则f(x)<0的取值范围是 .
【解析】如图：
可知-2<x<2.
答案：-2<x<2
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·哈尔滨高一检测)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+b+1(b为常数),则f(-1)= .
【解题指南】先求b,再计算f(-1),求b时可利用奇函数的性质f(0)=0来求.
【解析】由于f(-x)=-f(x),x∈R,
所以f(0)=0即2×0+b+1=0,所以b=-1,
又f(-1)=-f(1)=-2×1=-2,
所以f(-1)=-2.
答案：-2
6.如图所示,曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图像,已知k分别取-1,1,12,2四个值,则相应的图像依次为： .
【解析】在第一象限直线x=1的右侧,大指数在上,小指数在下,在y轴与直线x=1之间正好相反.
答案：C4,C2,C3,C1
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·安康高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时f(x)=x2+4x+3.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)画出y=f(x)的图像,并写出y=f(x)的递增区间.
【解析】(1)设x>0,则-x<0,
所以f(-x)=(-x)2-4x+3=x2-4x+3,
又f(-x)=f(x),所以f(x)=x2-4x+3.
故f(x)=x2-4x+3,x>0,x2+4x+3,x≤0.
(2)如图.
单调递增区间为(-2,0),(2,+∞).(写成闭区间也可以)
【拓展延长】利用奇偶性求解析式的一般步骤
已知函数的奇偶性,且知y=f(x)在关于原点对称的区间的一半时的解析式,求另一半的解析式时,常用的一般步骤：
(1)求谁设谁.如本题求x>0时的f(x),就设x>0.
(2)实现两个转化.①把x>0-x<0,进而求出f(-x);
②f(-x)f(x),进而求出f(x).
8.已知函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数.
(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是增加的.
(3)试比较f-52与f74的大小.
【解题指南】(1)利用赋值法证明f(-x)=f(x).
(2)利用定义法证明单调性.
(3)利用函数的单调性比较它们的大小.
【解析】(1)由题意知函数f(x)的定义域关于原点对称,由于对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0;
令x1=x2=-1,得f((-1)×(-1))
=f(-1)+f(-1),即f(1)=2f(-1),
即2f(-1)=0,所以f(-1)=0.
由于f(-x)=f((-1)·x)=f(-1)+f(x)=f(x),
所以f(x)是偶函数.
(2)设0<x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=fx1·x2x1-f(x1)
=f(x1)+fx2x1-f(x1)=fx2x1.
由于x2>x1>0,所以x2x1>1,
所以fx2x1>0,即f(x2)-f(x1)>0,
所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是增加的.
(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f-52=f52.
由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增加的,则f52>f74,
所以f-52>f74.
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