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课时提升作业(三十八)
一、选择题
1.(2021·上饶模拟)观看下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+
8+9+10=72,…,可以得出的一般结论是 ( )
(A)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2
(B)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
(C)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2
(D)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2
2.(2021·宝鸡模拟)观看下列数1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )
(A)13,39,123 (B)42,41,123
(C)24,23,123 (D)28,27,123
3.(2021·太原模拟)如图是2022年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是 ( )
4.(2021·海口模拟)记Sn是等差数列{an}前n项的和,Tn是等比数列{bn}前n项的积,设等差数列{an}公差d≠0,若对小于2011的正整数n,都有Sn=S2011-n成立,则推导出a1006=0.设等比数列{bn}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有Tn=T23-n成立,则 ( )
(A)b11=1 (B)b12=1
(C)b13=1 (D)b14=1
5.三段论:“①全部的中国人都坚强不屈;②玉树人是中国人;③玉树人确定坚强不屈”中,其中“大前提”和“小前提”分别是 ( )
(A)①② (B)①③
(C)②③ (D)②①
6.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn(x)=f'n-1(x)(n∈N+且n≥2),则f1()+f2()+…+f2022()= ( )
(A)503 (B)1006 (C)0 (D)2022
7.对于平面上的点集Ω,假如连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界):
其中为凸集的是 ( )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
8.(2021·汉中模拟)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制(11…1)2(共16位)转换成十进制数的形式是
( )
(A)217-2 (B)217-1 (C)216-1 (D)215-1
二、填空题
9.(2021·黄山模拟)给出如下定理:“若Rt△ABC的斜边AB上的高为h,则有=+”,在四周体P -ABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,类比上述定理,得到的正确结论是 .
10.(2021·西安模拟)观看下列等式:×=1-，
×+×=1-，
×+×+×=1-，
……
由以上各式推想第4个等式为 .
11.(2021·白鹭州模拟)完成下面三段论:
大前提:互为共轭复数的两复数的乘积是实数.
小前提:x+yi与x-yi互为共轭复数.
结论: .
12.(力气挑战题)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:
在y2=2px两边同时求导,得:
2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.
试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为 .
三、解答题
13.如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:DE=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).
14.（力气挑战题）某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简洁的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越秀丽,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5).
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并依据你得到的关系式求f(n)的关系式.
答案解析
1.【解析】选B.由已知的三个式子归纳:左边每一个式子均有2n-1项,且第一项为n,则最终一项为3n-2,右边均为2n-1的平方,故得出的一般结论为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
2.【解析】选B.∵3=1×3,2=3-1,6=2×3,5=6-1,15=5×3,…
∴从第一个数开头每两个数为一组,每组的其次个都是第一个的3倍,且下一组的第一个数是上一组的其次个数减1,故x=14×3=42,y=42-1=41,z=41×3=123,∴x,y,z分别为42,41,123.
3.【解析】选A.观看可知:该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,故下一个呈现出来的图形是A.
4.【解析】选B.由等差数列中Sn=S2011-n,可导出中间项a1006=0,类比得等比数列中Tn=T23-n,可导出中间项b12=1.
5.【思路点拨】依据三段论的结构特征即可解决,务必要分清大前提、小前提及结论.
【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质:大前提是一个“一般性的命题”(①全部的中国人都坚强不屈),小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②玉树人是中国人),结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③玉树人确定坚强不屈).
6.【思路点拨】先观看,归纳出fn(x)的解析式的周期,再代入求解.
【解析】选C.由已知可得f1(x)=sinx+cosx,f2(x)=cosx-sinx,f3(x)=-sinx-
cosx,f4(x)=sinx-cosx,f5(x)=sinx+cosx,…,因此f1()+f2()+…+f2022()
=503[f1()+f2()+f3()+f4()]
=503(1-1-1+1)=0.
7.【思路点拨】依据凸集的定义,结合图形的外形特征即可判定.
【解析】选B.依据凸集的定义,结合图形任意连线可得②③为凸集.
8.【解析】选C.由(1101)2转化为十进制的形式为1×23+1×22+0×21+1×20=13可知，
(11…1)2(共16位)可转化为
1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20
==216-1.
9.【解析】由平面类比到空间,在四周体P -ABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,
则=++.
答案：=++
10.【解析】×=1-=1-;
×+×=1-;
×+×+×=1-，
……
由上可知
×+×+×
+…+×=1-，
∴第4个等式为
×+×+×+×
=1-.
答案:×+×+×+×
=1-
【变式备选】设函数f(x)=(x>0)，观看:
f1(x)=f(x)=，f2(x)=f(f1(x))=，
f3(x)=f(f2(x))=，故fn(x)= .
【解析】依据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2，4，8，16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n-1，故fn(x)=.
答案:
11.【解析】由大前提、小前提得出的结论应为(x+yi)(x-yi)是实数.
答案：(x+yi)(x-yi)是实数
12.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,
∴y'===2,
∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.
答案：2x-y-=0
13.【证明】(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)
所以DF∥EA.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以DE=AF.(结论)
上面的证明可简略地写成:
⇒四边形AFDE是平行四边形⇒DE=AF.
14.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)由f(2)-f(1)=4=4×1.
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
…
得f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(2)-f(1)=4×1,
f(3)-f(2)=4×2,
f(4)-f(3)=4×3,
…
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),
f(n)-f(n-1)=4·(n-1)
∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]
=2n(n-1),
∴f(n)=2n2-2n+1.
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