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模块综合检测(C)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．假如a、x1、x2、b成等差数列，a，y1，y2、b成等比数列，那么等于( )
A. B.
C. D.
2．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，且sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)·sin B，则角C等于( )
A. B. C. D.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则S13等于( )
A．152 B．154
C．156 D．158
4．若<<0，则下列不等式：①|a|>|b|；②a＋b>ab；③＋>2；④<2a－b中，正确的不等式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，则B等于( )
A．60° B．120°
C．30°或150° D．60°或120°
6．已知0<a<b，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是( )
A．log2a>0 B．2a－b<
C．log2a＋log2b<－1 D．<
7．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且a7＝b7，则b6b8等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
8．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为( )
A．3 B.
C. D．2
9．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
10．企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得的利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
11．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )
A．24 B．32 C．48 D．64
12．不等式(k>1)所表示的平面区域为M.若M的面积为S，则的最小值为( )
A．30 B．32
C．34 D．36
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知数列{an}中，a1＝1，＝＋，则a10＝________.
14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝csin A，则的最大值为________．
15．已知数列{an}为等比数列，若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a7＝________.
16．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且有bcos C＋ccos B＝2acos B.
(1)求B的大小；
(2)若△ABC的面积是，且a＋c＝5，求b.
18．(12分)已知数列{an}的首项为a1＝，且2an＋1＝an(n∈N＋)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列bn满足bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
19．(12分)设某企业每月生产电机x台，依据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋.当m－n≥0时，称不亏损企业，当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少生产多少台电机？
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严峻，最大亏损额为多少？
20．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1＋＝.
(1)求角A；
(2)若a＝，试推断bc取得最大值时△ABC外形．
21．(12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产力气和技术水平的限制，会产生一些次品，依据阅历知道，其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系：P＝.(注：次品率＝次品数/生产量，如P＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方期望定出合适的日产量．
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)当日产量x为多少时，可获得最大利润？
22．(12分)已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N＋.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)．
模块综合检测(C)
1．D [∵a、x1、x2、b成等差数列，∴x1＋x2＝a＋b.
∵a、y1、y2、b成等比数列，∴y1y2＝ab.∴＝.]
2．B [由已知得sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，
由正弦定理得：a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理得：cos C＝＝＝.
又0<C<π，∴C＝.]
3．C [∵a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4.
∴(a3＋a7－a10)＋(a11－a4)＝(a3＋a11)＋a7－(a4＋a10)＝a7＝12.
∴S13＝＝13a7＝13×12＝156.]
4．B [∵<<0，∴a<0，b<0且a>b.
∴|a|<|b|，故①错；
∵a＋b<0，ab>0，∴a＋b<ab，故②错；
∵>0，>0且≠，
∴＋>2.故③正确；
∵<2a－ba2>2ab－b2a2＋b2>2ab(a－b)2>0，故④正确．正确的不等式有③④.选B.]
5．D [由正弦定理＝，∴sin B＝sin A＝.∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或120°.]
6．C [∵0<a<b，a＋b＝1.
∴0<a<，<b<1.
∴log2a<log2＝－1，A错误；
∵－1<a－b<0，∴2a－b>2－1＝，B错误；
∵＋>2，∴2＋>4.D错误．
∵log2b<log21＝0，log2a<－1，
∴log2a＋log2b<－1，故选C.]
7．D [∵2a3－a＋2a11＝0.∴a＝2a3＋2a11＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4.∴b7＝4.∴b6b8＝b＝16.]
8．B [S△ABC＝bcsin A＝c＝.∴c＝4.由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－2×1×4×cos 60°＝13.∴a＝.]
9．C [∵＝q3＝，∴q＝，∴an·an＋1＝4·n－1·4·n＝25－2n，
故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n
＝＝(1－4－n)．]
10．D [设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.
由题意得
可行域如图阴影所示．
由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．]
11．D [依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又由于an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.]
12．B [据已知约束条件可得其表示的平面区域M的面积S＝×4×4k＝8k，故＝＝8·＝8[(k－1)＋＋2]，由于k>1，故由基本不等式可得＝8[(k－1)＋＋2]≥8(2＋2)＝32，当且仅当k＝2时取等号．]
13.
解析 ＝＋9×＝1＋3＝4.∴a10＝.
14.
解析 ∵a＝csin A，∴sin A＝sin C·sin A.
∴sin C＝1.C＝90°.∴A＋B＝90°，
∴＝＝sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin(A＋45°)≤.
15.
解析 ∵a2a3＝2a1，∴aq3＝2a1，∴a1q3＝2.
∴a4＝2.又∵a4＋2a7＝.
∴2a7＝－a4＝.∴a7＝.
16.－1
解析 如图所示，由已知条件可得∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2，AB＝3，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，即BC2＋2BC－5＝0，解得BC＝－1±(负值舍去)，∴B到C的距离为(－1)km.
17．解 (1)由bcos C＋ccos B＝2acos B及正弦定理得：
sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin Acos B，即sin(B＋C)＝2sin Acos B
又A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A
从而sin A＝2sin Acos B，又0<A<π.
故cos B＝，又0<B<π，所以B＝.
(2)又S＝acsin＝，
所以ac＝3，又a＋c＝5，
从而b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac＝25－9＝16，故b＝4.
18．解 (1)由于数列{an}满足a1＝，且2an＋1＝an(n∈N＋)．
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列．
∴an＝×()n－1＝()n.
(2)由已知bn＝＝n·2n.
∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.
∴2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－2)·2n－1＋(n－1)·2n＋n·2n＋1
∴－Tn＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n－1＋1×2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1，∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.
19．解 (1)由题意知，m－n＝x－－(－x2＋5x＋)≥0，
即x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4(舍负值)．
∴x≥4，即至少生产4台电机企业为不亏损企业．
(2)企业亏损最严峻，即n－m取最大值．
n－m＝－x2＋5x＋－x＋＝－[(x－1)2－9]＝－(x－1)2，
∴当x＝1时，最大亏损额为万元，
此时m＝－＝(万元)．
∴当月总产值为万元时，企业亏损最严峻，最大亏损额为万元．
20．解 (1)1＋＝1＋＝，
即＝，
∴＝，∴cos A＝.
∵0<A<π，∴A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.
∵b2＋c2≥2bc，∴3≥2bc－bc，
即bc≤3，当且仅当b＝c＝时，bc取得最大值，又a＝，
故bc取得最大值时，△ABC为等边三角形．
21．解 (1)当x≥6时，P＝，则T＝x×2－x×1＝0.
当1≤x<6时，P＝，则T＝(1－)x×2－()x×1＝.
综上所述，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为：
P＝.
(2)由(1)知，当x≥6时，每天的盈利为0.
当1≤x<6时，T(x)＝＝15－2[(6－x)＋]，
∵6－x>0，
∴(6－x)＋≥2＝6，
∴T≤3.
当且仅当x＝3时，T＝3.
综上，当日产量为3万件时，可获得最大利润3万元．
22．(1)证明 ∵Sn＝n－5an－85，
∴当n＝1时，S1＝1－5a1－85，
即a1＝1－5a1－85，解得a1＝－14；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－5an－85)－[(n－1)－5an－1－85]＝－5an＋5an－1＋1，
整理得6an＝5an－1＋1，∴6(an－1)＝5(an－1－1)，
∴＝.又a1－1＝－15，
∴数列是以－15为首项，为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知，an－1＝－15×()n－1，
∴an＝－15×()n－1＋1，
代入Sn＝n－5an－85得，Sn＝n－5－85＝n＋75×()n－1－90.
设Sk为最小值，则
∴即
即∴
即log≤k≤log＋1.
又log＝＝＝.
lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，∴log≈14.75.
∴14.75≤k≤15.75.又∵k∈N＋，∴k＝15.
即当n＝15时，Sn取得最小值．
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