资源描述
模块综合检测（B）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在某几何体的三视图中，主视图、左视图、左视图是三个全等的圆，圆的半径为R，则这个几何体的体积是( )
A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3
2．已知水平放置的△ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
3．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个语句：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知两点A(－1,3)，B(3,1)，当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．三视图如图所示的几何体的全面积是( )
A．2＋ B．1＋
C．2＋ D．1＋
6．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝21
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
7．如右图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )
A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面
8．过圆x2＋y2＝4上的一点(1，)的圆的切线方程是( )
A．x＋y－4＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＝0 D．x－y－4＝0
9．若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．－5 B．5－
C．30－10 D．无法确定
10．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．2＋(y－1)2＝1
11．设r>0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16可能( )
A．相离 B．相交
C．内切或内含或相交 D．外切或外离
12．一个三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两相互垂直，且长度分别为1，，3，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )
A．16π B．32π C．36π D．64π
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为________．
14．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中相互垂直的平面有
__________________________________．
15．已知直线5x＋12y＋a＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则a的值为________．
16．过点P(1，)的直线l将圆C：(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．
求证：AD⊥平面SBC．
18．(12分)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高线BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
19．(12分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．
20．(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面开放图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S＝2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长．现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
21．(12分) 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．
求证：(1)直线BD1∥平面PAC；
(2)平面BDD1⊥平面PAC；
(3)直线PB1⊥平面PAC．
22．(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
模块综合检测(B) 答案
1．D [由三视图知该几何体为半径为R的球，
知V＝πR3．]
2．A
3．C [①中m与n可能相交，也可能异面，
∴①错误．]
4．C [由题意，点C应当为以AB为直径的圆与坐标轴的交点．以AB为直径的方程是(x＋1)(x－3)＋(y－3)(y－1)＝0，令x＝0，解得y＝0或4；令y＝0，解得x＝0或2．所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0)，(0,4)，(2,0)．]
5．A [
由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示．
故全面积S＝2＋．]
6．C [该圆过原点．]
7．D [连接A1B，∵E是AB1中点，∴E∈A1B，
∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，
故D不成立．]
8．A [过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．]
9．C [配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－，故可求x2＋y2的最小值为30－10．]
10．B [设圆心为(a，b)，由题意知b＝r＝1，
1＝，又∵a>0，∴a＝2，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．]
11．C [由于点(1，－3)在圆x2＋y2＝16内，所以内切或内含或相交．]
12．A [以三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4．∴球半径为2，S球＝4πR2＝16π．]
13．－
14．平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD．
15．8或－18
解析 ＝1，解得a＝8或－18．
16．
解析 当直线与PC垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为．
17．证明 ∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．
又SA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴SA⊥BC．又SA∩AC＝A，
∴BC⊥平面SAC．
∵AD平面SAC，
∴BC⊥AD．
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC平面SBC，
BC平面SBC，∴AD⊥平面SBC．
18．解 (1)由题意，得直线AC的方程为
2x＋y－11＝0．
解方程组，
得点C的坐标为(4,3)．
(2)设B(m，n)，M．
于是有m＋5－－5＝0，
即2m－n－1＝0与m－2n－5＝0联立，
解得B点坐标为(－1，－3)，
于是有lBC：6x－5y－9＝0．
19．解
如图所示，
|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝2，|AC|＝4．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2．
设所求直线l的斜率为k，
则直线l的方程为：y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0．由点C到直线AB的距离公式：
＝2，得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0．
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0．
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0．
20．解 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)．
设所求圆柱的底面半径为r，
它的侧面积S圆柱侧＝2πrx．
由于＝，所以r＝R－·x．
所以S圆柱侧＝2πRx－·x2．
(2)由于S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．
这时圆柱的高x＝．
故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
21．
证明 (1)设AC∩BD＝O，连接PO，
在△BDD1中，∵P、O分别是DD1、BD的中点，
∴PO∥BD1，
又PO平面PAC，BD1平面PAC，
∴直线BD1∥平面PAC．
(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，
∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
又DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥DD1．
又BD∩DD1＝D，BD平面BDD1，
DD1平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，
∵AC平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD1．
(3)∵PC2＝2，PB＝3，B1C2＝5，
∴PC2＋PB＝B1C2，△PB1C是直角三角形，PB1⊥PC．同理PB1⊥PA，
又PA∩PC＝P，PA平面PAC，
PC平面PAC，∴直线PB1⊥平面PAC．
22．解 (1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴m<5．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
则x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2．
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0．
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0 ①
由
得5y2－16y＋m＋8＝0
∴y1＋y2＝，y1y2＝．
代入①得，m＝．
(3)以MN为直径的圆的方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0
∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0．
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