2022届高考数学理新课标A版一轮总复习练习-第6章-不等式、推理与证明-4.docx

自主园地　备考套餐
加固训练　练透考点
1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C. D．3
解析：＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以＋－＝－＝－2＋1≤1.
答案：B
2．设a＞0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)
A．16 B．9
C．4 D．2
解析：∵关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，∴a≥(5－x)(x－1)在(1，＋∞)上恒成立．∵(5－x)(x－1)＝－(x－3)2＋4≤4，∴a≥4，即a的最小值为4.
答案：C
3．[2022·福建]要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是__________(单位：元)．
解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，由于无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2 ＝160(当且仅当x＝，即x＝2时取等号)，所以该容器的最低总造价为160元．
答案：160
4．[2022·四川]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是__________．
解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案：5
5．[2022·辽宁]对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为__________．
解析：设2a＋b＝t，则2a＝t－b，由于4a2－2ab＋4b2－c＝0，所以将2a＝t－b代入整理可得6b2－3tb＋t2－c＝0①，由Δ≥0解得－ ≤t≤ ，当|2a＋b|取最大值时t＝ ，代入①式得b＝，再由2a＝t－b得a＝，所以－＋＝－＋＝－＝2－2≥－2，当且仅当c＝时等号成立．
答案：－2