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模块综合检测（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．直线x＝tan 60°的倾斜角是( )
A．90° B．60° C．30° D．不存在
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
3．方程y＝ax＋表示的直线可能是( )
4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n
B．若α⊥β，lα，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
5．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为( )
A． B． C．2 D．
6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
7．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
8．以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折成二面角C－AD－B为多大时，在折成的图形中，△ABC为等边三角形．( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
9．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＝1
C．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y
10．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或或2 B．或
C．2或0 D．－2或0
11．直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．在平面直角坐标系中，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知点A(－2,3,4)，在y轴上有一点B，且|AB|＝3，则点B的坐标为________．
14．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________．
15．如图，某几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，左视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．
16．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0，若圆C和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径，则圆C′的标准方程为__________________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0．求AC边上的高所在的直线方程．
18．(12分)求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为6的直线AB的方程．
19．(12分) 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点，求证PA∥平面EDB．
20．(12分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
(1)求证D1C⊥AC1；
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
21．(12分)已知M与两定点O(0,0)、A(3,0)的距离之比为．
(1)求M点的轨迹方程；
(2)若M的轨迹为曲线C，求C关于直线2x＋y－4＝0对称的曲线C′的方程．
22．(12分) 如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°．
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明CD⊥平面ABF；
(3)求二面角B－EF－A的正切值．
模块综合检测(A)
答案
1．D [∵cos2A＋sin2A＝1，且＝－，
∴cos2A＋(－cos A)2＝1且cos A<0，
解得cos A＝－.]
2．D [∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)．
∴b＝(a＋b)－a＝(1，k)－(2,1)＝(－1，k－1)．
∵a⊥b.∴a·b＝－2＋k－1＝0
∴k＝3.]
3．D [·＝(＋)·＝2＋·＝2＋0＝16.]
4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(＋α)
∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.
∴sin αcos α＝＝
＝＝－.]
5．A [由图可知，A＝4，且
，解得.
∴y＝4sin(x－)＝－4sin(x＋)．]
6．B [由cos 30°＝得
＝＝
∴a·b＝，故选B.]
7．C [y＝cos(x＋)＝sin(x＋＋)＝sin(x＋)，
∴只需将函数y＝sin x的图像向左平移个长度单位，即可得函数y＝cos(x＋)的图像．]
8．A [由于＝2，
得＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，
结合＝＋λ，知λ＝.]
9．D [∵β＝π－2α，∴y＝cos(π－2α)－6sin α
＝－cos 2α－6sin α＝2sin2α－1－6sin α
＝2sin2α－6sin α－1＝22－
当sin α＝1时，ymin＝－5；当sin α＝－1时，ymax＝7.]
10．B [a·b＝4sin(α＋)＋4cos α－
＝2sin α＋6cos α－＝4sin(α＋)－＝0，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－，故选B.]
11．B [将f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位，若与原图像重合，则为函数f(x)的周期的整数倍，不妨设＝k·(k∈Z)，得ω＝4k，即ω为4的倍数，故选项B不行能．]
12．C [
建立如图所示的直角坐标系．
∵＝(2,2)，＝(2,0)，
＝(cos α，sin α)，
∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．
过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN，如图所示，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.
∵||＝2，∴||＝||＝||，
知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝.
∴∠MOB＝，∠NOB＝，
故≤〈，〉≤.]
13．－
解析 sin 2 010°＝sin(5×360°＋210°)
＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－.
14．1
解析 ∵a∥b，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0.
∴cos2θ＝，
∵θ为锐角，∴cos θ＝，
∴θ＝，∴tan θ＝1.
15.
解析 ＝(2,2)，＝(－1,3)．
∴在上的投影||cos〈，〉＝＝＝＝.
16．sin(＋)
解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，
解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin(＋φ)，又函数图像过点(2，－)，
故f(x)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin(＋)．
17．解 (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，
∴tan x＝－，
2cos2x－sin 2x＝
＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin(2x＋)．
∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，
∴－1≤sin(2x＋)≤，
∴－≤f(x)≤，
∴f(x)max＝.
18．(1)解 由于a与b－2c垂直，
所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)解 由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得
|b＋c|＝＝≤4.
又当β＝－时，等号成立，
所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明 由tan αtan β＝16得＝，
所以a∥b.
19．解 (1)∵a·b＝0，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又θ∈(0，)，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
∴cos φ＝sin φ.
∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又∵0<φ<，∴cos φ＝.
20．解 (1)由于f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx.
所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1.因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
21．解 (1)f(x)＝
＝＝
＝＝2cos 2x，
∴f(－)＝2cos(－)＝2cos ＝.
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)．
∵x∈[0，)，∴2x＋∈[，)．
∴当x＝时，g(x)max＝，当x＝0时，g(x)min＝1.
22．解 (1)∵|a|＝1，|b|＝1，
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2
＝|a|2＋|b|2－2(cos αcos β＋sin αsin β)
＝1＋1－2cos(α－β)，
|a－b|2＝()2＝，
∴2－2cos(α－β)＝得cos(α－β)＝.
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
由sin β＝－得cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×(－)＝.
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