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课时跟踪检测(十三) 圆周运动
对点训练：描述圆周运动的物理量
1.(2021·湖北省重点中学联考)如图1所示，由于地球的自转，地球表面上P、Q两物体均绕地球自转轴做匀速圆周运动，对于P、Q两物体的运动，下列说法正确的是( )
图1
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点的线速度大小相等
C．P点的线速度比Q点的线速度大
D．P、Q两物体均受重力和支持力两个力作用
2.(2021·资阳诊断)如图2所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r＝2∶1。当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1，若转变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则( )
图2
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，如图3所示。当自行车正常骑行时A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于( )
图3
A．1∶1∶8 B．4∶1∶4
C．4∶1∶32 D．1∶2∶4
对点训练：水平面内的匀速圆周运动
4．山城重庆的轻轨交通颇有山城特色，由于地域限制，弯道半径很小，在某些弯道上行驶时列车的车身严峻倾斜。每到这样的弯道乘客都有一种坐过山车的感觉，很是惊险刺激。假设某弯道铁轨是圆弧的一部分，转弯半径为R，重力加速度为g，列车转弯过程中倾角(车厢地面与水平面夹角)为θ，则列车在这样的轨道上转弯行驶的平安速度(轨道不受侧向挤压)为( )
图4
A． B．
C． D．
5．(多选)如图5所示，绳子的一端固定在O点，另一端拴一重物在水平面上做匀速圆周运动( )
图5
A．转速相同时，绳长的简洁断
B．周期相同时，绳短的简洁断
C．线速度大小相等时，绳短的简洁断
D．线速度大小相等时，绳长的简洁断
6．(多选)(2021·河南漯河二模)如图6所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是( )
图6
A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为∶1
B．小球m1和m2的角速度大小之比为∶1
C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1
D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1
对点训练：竖直平面内的圆周运动
7.(2021·忻州一中检测)如图7所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为( )
图7
A．mg B．2mg
C．3mg D．4mg
8．(多选)如图8所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是( )
图8
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球确定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球确定有作用力
9．(2021·山东省桓台模拟)如图9，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内作圆周运动。A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D点是与圆心O同一水平线上的点。小滑块运动时，物体M在地面上静止不动，则物体M对地面的压力N和地面对M的摩擦力有关说法正确的是( )
图9
A．小滑块在A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．小滑块在B点时，N＝Mg，摩擦力方向向右
C．小滑块在C点时，N＝(M＋m)g，M与地面无摩擦
D．小滑块在D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左
对点训练：圆周运动的综合问题
10．(2022·安徽高考)如图10所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是( )
图10
A． rad/s B． rad/s
C．1.0 rad/s D．5 rad/s
11．(2021·汕头模拟)如图11为某工厂生产流水线上水平传输装置的俯视图，它由传送带和转盘组成。物品从A处无初速度放到传送带上，运动到B处后进入匀速转动的转盘，设物品进入转盘时速度大小不发生变化，此后随转盘一起运动(无相对滑动)到C处被取走装箱。已知A、B两处的距离L＝10 m，传送带的传输速度v＝2 m/s，物品在转盘上与轴O的距离R＝4 m，物品与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25。g取10 m/s2。求：
图11
(1)物品从A处运动到B处的时间t；
(2)质量为2 kg的物品随转盘一起运动的静摩擦力为多大。
12．(2021·德州联考)如图12所示，水平放置的圆盘上，在其边缘C点固定一个小桶，桶的高度不计，圆盘半径为R＝1 m，在圆盘直径CD的正上方，与CD平行放置一条水平滑道AB，滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，且B点距离圆盘圆心的竖直高度h＝1.25 m，在滑道左端静止放置质量为m＝0.4 kg的物块(可视为质点)，物块与滑道的动摩擦因数为μ＝0.2，现用力F＝4 N的水平作用力拉动物块，同时圆盘从图示位置，以角速度ω＝2π rad/s，绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用在物块一段时间后撤掉，最终物块由B点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内。重力加速度取10 m/s2。
图12
(1)若拉力作用时间为0.5 s，求所需滑道的长度；
(2)求拉力作用的最短时间。
答案
1．选A P、Q两点都是绕地轴做匀速圆周运动，角速度相等，即ωP＝ωQ，选项A对。依据圆周运动线速度v＝ωR，P、Q两点到地轴的距离不等，即P、Q两点圆周运动线速度大小不等，选项B错。Q点到地轴的距离远，圆周运动半径大，线速度大，选项C错。P、Q两物体均受到万有引力和支持力作用，二者的合力是圆周运动的向心力，我们把与支持力等大反向的平衡力即万有引力的一个分力称为重力，选项D错。
2．选C 依据题述，a1＝ω12r，ma1＝μmg；联立解得μg＝ω12r。小木块放在P轮边缘也恰能静止，μg＝ω2R＝2ω2r。由ωR＝ω2r联立解得＝，选项A、B错误；ma＝μmg，所以＝，选项C正确，D错误。
3．选C A、C角速度相等，由a＝ω2R可知aA∶aC＝1∶8。A、B线速度相等，由a＝可知，aA∶aB＝4∶1，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，选项C正确。
4．选C 本题联系实际考查圆周运动、向心力学问。轨道不受侧向挤压时，轨道对列车的作用力就只有弹力，重力和弹力的合力供应向心力，依据向心力公式mgtan θ＝m，得v＝，C正确。
5．选AC 绳子拉力供应圆周运动向心力，绳子长度即圆周运动半径。转速相同即周期和角速度相同，绳子拉力供应向心力即F＝mlω2，绳子越长向心力越大即绳子拉力越大，越简洁断，选项A对B错。线速度大小相等时，则有向心力即绳子拉力F＝，绳子越长拉力越小，越不简洁断，C对D错。
6．选AC 对任一小球争辩。设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则
Tcos θ＝mg，
解得T＝。
所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比＝＝，故A正确。
小球所受合力的大小为mgtan θ，依据牛顿其次定律得mgtan θ＝mLsin θ·ω2，
得ω2＝。两小球Lcos θ相等，所以角速度相等，故B错误。
小球所受合力供应向心力，则向心力为F＝mgtan θ，
小球m1和m2的向心力大小之比为：
＝＝3，故C正确。
两小球角速度相等，质量相等，由合外力供应向心力，有F＝mgtan θ＝mωv，则小球m1和m2的线速度大小之比为＝＝3，故D错误。
7．选A 当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，有mg＝m；当小球到达最高点时速率为2v，设每段线中张力大小为F，应有2Fcos 30°＋mg＝m；解得F＝mg，选项A正确。
8．选BC 在光滑圆形管道的最高点，小球的速度可以等于零，A错误，B正确；在ab线以下时，外侧管壁对小球的弹力要供应向心力，而在ab线以上，当速度较小时，小球要挤压内侧管壁，故C正确，D错误。
9．选B 由于轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在A点时，与轨道的作用力在竖直方向上，水平方向对轨道无作用力，所以轨道相对于地面没有相对运动趋势，即摩擦力为零；当小滑块的速度v＝时，对轨道的压力为零，轨道对地面的压力N＝Mg，当小滑块的速度v＞时，对轨道的压力向上，轨道对地面的压力N＜Mg，故选项A错误；小滑块在B点时，对轨道的作用力沿水平方向向左，所以轨道对地有向左运动的趋势，地面给轨道向右的摩擦力；竖直方向上对轨道无作用力，所以轨道对地面的压力N＝Mg，故选项B正确；小滑块在C点时，在水平方向对轨道无作用力，所以地面对轨道没有摩擦力；小滑块做圆周运动，轨道对小滑块的支持力大于其重力，其合力供应向上的向心力，所以滑块对轨道的压力大于其重力，所以轨道对地面的压力N＞(M＋m)g，故选项C错误；小滑块在D点时，对轨道的作用力沿水平方向向右，所以轨道对地有向右运动的趋势，地面给轨道向左的摩擦力；竖直上方向对轨道无作用力，所以轨道对地面的压力N＝Mg，故选项D错误。
10．选C 物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最简洁滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，依据牛顿其次定律可知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mrω2，求得ω＝1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误。
11．解析：(1)物品先在传送带上做初速度为零的匀加速直线运动：a＝μg＝2.5 m/s2
x1＝＝0.8 m
t1＝＝0.8 s
之后，物品和传送带一起以速度v做匀速运动，则t2＝＝4.6 s
所以t＝t1＋t2＝5.4 s。
(2)物品在转盘上所受的静摩擦力供应向心力F＝m解得：F＝2 N。
答案：(1)5.4 s (2)2 N
12．解析：(1)物块平抛：h＝gt2；
t＝ ＝0.5 s
物块离开滑道时的速度：v＝＝2 m/s
拉动物块的加速度，由牛顿其次定律：
F－μmg＝ma1；得：a1＝8 m/s2
撤去外力后，由牛顿其次定律：
－μmg＝ma2；
得：a2＝－2 m/s2
物块加速获得速度：v1＝a1t1＝4 m/s
则所需滑道的长度
L＝x1＋x2＝a1t12＋＝4 m
(2)盘转过一圈时落入，拉力时间最短；
盘转过一圈时间：T＝＝1 s；
物块在滑道上先加速后减速，最终获得：v＝a1t1＋a2t2
物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：t1＋t2＋t＝T
由上两式得：t1＝0.3 s。
答案：(1)4 m (2)0.3 s
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