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第七章 机械能守恒定律
学习目标
1.进一步加强对功与功率的理解，深刻理解重力做功的特点以及重力做功与重力势能变化的关系。
2.进一步加强对动能定理的理解，娴熟把握运用动能定理解决问题的方法步骤。
3.强化理解机械能守恒定律的条件，巩固利用机械能守恒定律解决问题的方法步骤。
课内探究
一、功 功率
考点一 功
1.做功的两个因素： 和物体在力的方向上发生的 。
2.功的公式：，其中为恒力，为力的方向与位移方向的夹角；功的单位：焦耳；功是标量。
3.正功、负功的推断方法
（1）依据力和位移方向之间的 推断：此法常用于恒力做功时的推断。
夹角
功的正负
<90°
力对物体做 功
=90°
力对物体做 功
>90°
力对物体做 功或 说成物体克服这个力做了功
图7-11-1
（2）依据力和瞬时速度方向的 推断：此法常用于推断质点做曲线运动时变力的功。夹角为锐角时做正功；夹角为钝角时做负功；夹角为直角时不做功。如图7-11-1所示，可用上述方法推断人造地球卫星运行时万有引力对卫星做功的正负。
（3）从能的转化角度来进行推断：此法常用于推断相互联系的两个物体之间的相互作用力做功的状况。
图7-11-2
例如，质量为的小车静止在光滑水平轨道上，小球用细线悬挂在车上，由图7-11-2中的位置无初速度释放，则可推断在球下摆过程中绳的拉力对小车做正功，由于绳的拉力使小车的动能增加了。又由于和构成的系统的机械能是守恒的，增加的机械能等于削减的机械能，所以绳的拉力确定对球做负功。
4.功的计算
（1）恒力做功：
（2）变力做功：
（3）多个力所做的功：
图7-11-3
例1 （多选）如图7-11-3所示，质量为的滑块放在光滑斜面上，斜面与水平面间的摩擦力不计，当滑块从斜面顶端滑到斜面底端的过程中（ ）
A.重力对滑块做功
B.滑块受到斜面的支持力与斜面垂直，所以支持力对滑块不做功
C.斜面的支持力对滑块做负功
D.滑块的压力对斜面做正功
例2 放在地面上的木块与一劲度系数为200 N/m的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动0.2 m时，木块开头运动，连续拉弹簧，木块缓慢移动了0.4 m的位移，求上述过程中拉力所做的功。
考点二 功率
1.对功率的两个公式和的理解
说明：应用公式时需留意：
(1)与方向在同始终线上时，；
(2)与方向有一夹角时，。
2.机车的两种启动模型
(1)以恒定功率启动的动态过程
(2)以恒定加速度启动的动态过程
图7-11-4
例3 （单选）飞行员进行素养训练时，抓住秋千杆由水平状态开头下摆，到达竖直状态的过程中(如图7-11-4)，飞行员所受重力的瞬时功率变化状况是（ ）
A.始终增大
B.始终减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
点评：计算功率的基本思路：1.首先推断待求的功率是瞬时功率还是平均功率。2.(1)平均功率的计算方法有：①利用求解；②利用求解。(2)瞬时功率的计算方法是利用求解，是时刻的瞬时速度。
例4 额定功率为80 kW的汽车，在平直大路上行驶的最大速度是20 m/s，汽车的质量是2 t，假如汽车从静止开头做匀加速直线运动，加速度的大小是2 ，运动过程中阻力不变，求：
(1)汽车受到的阻力多大？
(2)3 s末汽车的瞬时功率多大？
(3)汽车维持匀加速运动的时间是多长？
二、动能定理
考点三 动能定理
1.动能定理
内容
合力对物体所做的功等于物体动能的变化
表达式
意义
>0，物体的动能 ；<0，物体的动能 ；=0，物体的动能_________
适用条件
1.动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动
2.既适用于恒力做功，也适用于变力做功
3.力可以是各种性质的力，力可以同时作用，也可以不同时作用
2.对动能定理的理解
动能定理表达了合力的功是引起物体动能变化的缘由，Δ适用于任何力作用下，以任何形式运动的物体(或系统)，是一标量式，不存在方向问题，它把过程量(做功)与状态量(动能)联系在一起，常用于求变力做功、分析简洁运动过程、推断能量间的转化关系等。
3.应用动能定理解题的步骤
(1)选取争辩对象，明确并分析运动过程；
(2)分析受力及各力做功的状况，求出总功；
受哪些力→各力是否做功→做正功还是负功→做了多少功→确定求总功思路→求出总功
(3)明确过程初、末状态的动能及；
(4)列方程，必要时留意分析题目潜在的条件，列挂念方程进行求解。
图7-11-5
例5 (上海高考·多选)物体沿直线运动的关系如图7-11-5所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为，则（ ）
A.从第1秒末到第3秒末合力做功为4
B.从第3秒末到第5秒末合力做功为
C.从第5秒末到第7秒末合力做功为
D.从第3秒末到第4秒末合力做功为
图7-11-6
例6 （2022·全国大纲卷·单选）一物块沿倾角为的斜坡向上滑动。当物块的初速度为时，上升的最大高度为，如图7-11-6所示；当物块的初速度为时，上升的最大高度记为。重力加速度大小为。物块与斜坡间的动摩擦因数和分别为（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
图7-11-7
例7 如图7-11-7所示，为圆弧轨道，半径为0.8 m，是水平轨道，长3 m，处的动摩擦因数为，质量1 kg的物体，自点由静止下滑到点刚好停止。求物体在轨道段所受的阻力对物体做的功。(取10 )
点评：(1)应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程初、末状态的动能。(2)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑。但求功时，有些力不是全过程都作用的，必需依据不同的状况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式。
三、机械能守恒定律
考点四 机械能守恒定律及其应用
1.机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
(2)表达式
①＋＋(要选零势能参考平面);
②(不用选零势能参考平面);
③(不用选零势能参考平面)。
2.机械能守恒的推断方法
(1)利用机械能的定义推断(直接推断)：分析动能和势能的和是否变化。
(2)用做功推断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)用能量转化来推断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统的机械能守恒。
图7-11-8
例8 （单选）如图7-11-8是为了检验某种防护罩承受冲击力气的装置的一部分，为半径为＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可放射速度不同的质量0.01 kg的小钢珠。假设某次放射的钢珠沿轨道内侧恰好能经过的上端点水平飞出，取10 ,弹簧枪的长度不计，则放射该钢珠前，弹簧的弹性势能为（ ）
A.0.10 J B.0.15 J C.0.20 J D.0.25 J
例9 如图7-11-9甲所示，竖直平面内的光滑轨道由直轨道和圆轨道组成，小球从轨道上高处的某点由静止下滑，用力传感器测出小球经过圆轨道最高点时对轨道的压力为，并得到如图乙所示的压力随高度的变化关系图像。(小球在轨道连接处无机械能损失，取10 )求：
甲 乙
图7-11-9
(1)小球从处滑下，它经过最低点时的向心加速度的大小；
(2)小球的质量和圆轨道的半径。
图7-11-10
例10 如图7-11-10所示，质量为的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为的砝码相连，把绳拉直后使砝码从静止开头下降的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，求此时砝码的速度以及轻绳对砝码做的功。
点评：应用机械能守恒定律的基本思路
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