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双基限时练(二)
1．设集合M＝{x∈R|x≤3}，a＝2，则( )
A．a∉M B．a∈M
C．{a}∈M D．{a}∉M
解析 (2)2－(3)2＝24－27<0，故2<3.所以a∈M.
答案 B
2．若P＝{(2,1)，(1,2)}，则集合P中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 (2,1)，(1,2)为两个不同元素，共2个．
答案 B
3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析 ∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，
∴x＝1,2,3,4.故选B.
答案 B
4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
解析 A、B、D选项表示的集合都是{1}，
而C选项表示含有一个方程的集合．
答案 C
5．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是指( )
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第一、三象限内的点集
D．其次、四象限内的点集
解析 xy<0表示x>0，且y<0，或x<0，且y>0.因此集合M表示其次、四象限内的点集．
答案 D
6．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
解析 ∵x∈A，y∈A，x－y∈A，
∴满足条件的(x，y)有(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(3,1)，(4,2)，(5,3)，(4,1)，(5,2)，(5,1)，共10个．
答案 D
7．{(x，y)|x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
答案 {(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A且a∈B，则a为________．
解析 ∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2,5)．
答案 (2,5)
9．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中全部元素之和为________．
解析 ∵－5∈{x|x2－ax－5＝0}，
∴－5是方程x2－ax－5＝0的根．
∴(－5)2＋5a－5＝0，a＝－4.
∴x2－4x－a＝0，即x2－4x＋4＝0.
∴x1＝x2＝2.
又∵集合中的元素是互异的，
∴{x|x2－4x－a＝0}＝{2}．
答案 2
10．用另一种方法表示下列集合．
(1){确定值小于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x<5，且x∈Z}；
(4){－3，－1,1,3,5}．
解 (1)列举法表示为{－1,0,1}．
(2)列举法表示为{3,6,9}．
(3)列举法表示为{0,1,2,3,4}．
(4)描述法表示为{x|x＝2n－1，－1≤n≤3，n∈Z}．
11．下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们的各自含义是什么？
解 (1)是互不相同的集合．
(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，
∴{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1.
∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x，y)，由于这些点的坐标满足y＝x2＋1，
∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{抛物线y＝x2＋1上的点}．
12．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.
(1)若1∈A，用列举法表示A；
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B.
解 (1)∵1∈A，∴1是方程ax2＋2x＋1＝0的根．
∴a·12＋2×1＋1＝0，即a＝－3.
∴方程为－3x2＋2x＋1＝0.
∴x1＝1，x2＝－，此时A＝.
(2)若a＝0，则方程化为2x＋1＝0，x＝－，
A中仅有一个元素；
若a≠0，A中仅有一个元素；当且仅当Δ＝4－4a＝0，
即a＝1，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1.
∴所求集合B＝{0,1}．
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