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第3讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差
A级训练
(完成时间：15分钟)
1.(2021·广东)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望EX＝( )
A. B．2
C. D．3
2.已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2＜X≤4)等于( )
A. B.
C. D.
3.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点毁灭时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是( )
A. B.
C. D.
4.已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝ 2 .
Xi
1
2
3
P(ξ＝Xi)
x
y
x
5.设随机变量ξ的分布列为：
ξ
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则E(5ξ＋4)＝ 15 .
6.(2022·上海)某玩耍的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该玩耍的得分，若E(ξ)＝4.2，则小白得5分的概率至少为 0.2 .
7.甲、乙、丙三名优秀的高校毕业生参与一所重点中学的聘请面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则商定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是p，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为.
(1)求p；
(2)求签约人数ξ的分布列和数学期望值．
B级训练
(完成时间：20分钟)
1.[限时2分钟，达标是( )否( )]
李先生居住在城镇的A处，预备开车到单位B处上班，途中(不绕行)共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车大事的概率均为，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值Eξ是( )
A. B．1
C．6×()6 D．6×()6
2.[限时2分钟，达标是( )否( )]
设随机变量X～B(5，)，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是( )
A. B.
C. D.
3.[限时2分钟，达标是( )否( )]
离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pk·q1－k(k＝0,1，p＋q＝1)，则EX与DX依次为( )
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和p(1－p)
4.[限时2分钟，达标是( )否( )]
新入高校的甲刚进校时购买了一部新手机，他把手机号码抄给同学乙．其次天，同学乙给他打电话时，发觉号码的最终一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时任凭地添上最终一个数字，且用过了的数字不再重复．则拨号次数ξ不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望是________．
5.[限时2分钟，达标是( )否( )]
某同学在参与政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成果是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望Eξ的值为________．
ξ
0
1
2
3
P
a
b
6.[限时5分钟，达标是( )否( )]
(2022·四川)一款击鼓小玩耍的规章如下：每盘玩耍都需击鼓三次，每次击鼓要么毁灭一次音乐，要么不毁灭音乐；每盘玩耍击鼓三次后，毁灭一次音乐获得10分，毁灭两次音乐获得20分，毁灭三次音乐获得100分，没有毁灭音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓毁灭音乐的概率为，且各次击鼓毁灭音乐相互独立．
(1)设每盘玩耍获得的分数为X，求X的分布列．
(2)玩三盘玩耍，至少有一盘毁灭音乐的概率是多少？
(3)玩过这款玩耍的很多人都发觉，若干盘玩耍后，与最初的分数相比．分数没有增加反而削减了．请运用概率统计的相关学问分析分数削减的缘由．
[限时5分钟，达标是( )否( )]
(2022·陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体状况如下表：
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
C级训练
(完成时间：12分钟)
1.[限时6分钟，达标是( )否( )]
(2022·重庆)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)
[限时6分钟，达标是( )否( )]
(2022·大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
第3讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差
【A级训练】
1．A 解析：由数学期望的计算公式即可得出：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
2．A 解析：由于P(X＝k)＝，k＝1,2，…，
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
3．D 解析：由于成功次数ξ听从二项分布，每次试验成功的概率为1－×＝，所以在10次试验中，成功次数ξ的期望为×10＝.
4．2 解析：由题意，x＋y＋x＝1，即2x＋y＝1，所以Eξ＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝2(2x＋y)＝2.
5．15 解析：E(5ξ＋4)＝5·Eξ＋4＝5(1×0.4＋2×0.3＋4×0.3)＋4＝15.
6．0.2 解析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1－x，由于E(ξ)＝4.2，所以4(1－x)＋5x＝4.2，解得x＝0.2.
7．解析：(1)至少1人面试合格概率为(包括1人合格，2人合格和3人都合格)，
这样都不合格的概率为1－＝.
所以(1－p)3＝，即p＝.
(2)签约人数ξ取值为0、1、2、3，签约人数为0的概率：都不合格(1－)3＝，甲不合格，乙丙中有一人不合格×(1－×)－(1－)3＝，
签约人数为0的概率：＋＝；
签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：×(1－×)＝；
签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：××(1－)＝；
签约人数为3的概率：
甲乙丙均合格：()3＝.
所以签约人数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
【B级训练】
1．B 解析：A处到单位B处上班路线中每个交叉路口发生堵车大事的概率均为，则P(ξ＝k)＝C·()k·()6－k(k＝0,1,2,3,4,5,6)，所以ξ听从二项分布B(6，)，Eξ＝6×＝1.
2．C 解析：由于函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，
所以Δ＝16－4X≥0，所以X≤4，
由于随机变量X～B(5，)，
所以P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝.
3．D 解析：随机变量X满足两点分布，故EX＝p，DX＝p(1－p)，选D.
4. 解析：由于每一次次拨对甲的手机号码的概率均为，拨号次数ξ不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望E(ξ≤3)＝1×＋2×＋3×＝.
5. 解析：①同学在参与政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A等级有以下3种状况：政、史；政、地；地、史．
所以P(ξ＝2)＝(1－)××＋×(1－)×＋××(1－)＝.
②依据分布列的性质可得：P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－－＝，
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
6．解析：(1)X可能的取值为10,20,100，－200.
依据题意，有
P(X＝10)＝C×()1×(1－)2＝，
P(X＝20)＝C×()2×(1－)1＝，
P(X＝100)＝C×()3×(1－)0＝，
P(X＝－200)＝C×()0×(1－)3＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘玩耍没有毁灭音乐”为大事Ai(i＝1,2,3)，则
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘玩耍中至少有一次毁灭音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－()3＝1－＝.
因此，玩三盘玩耍至少有一盘毁灭音乐的概率是.
(3)X的数学期望为
EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次玩耍之后分数削减的可能性更大．
7．解析：(1)设A表示大事“作物产量为300 kg”，B表示大事“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
由于利润＝产量×市场价格－成本．
所以X全部可能的取值为
500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，
300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.
P(X＝4000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2000)＝P()P(B)＋P(A)P()
＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的分布列为
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)设Ci表示大事“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，
由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，
3季的利润均不少于2000元的概率为
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2)＝3×0.82×0.2＝0.384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.
【C级训练】
1．解析：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝＝.
(2)X的全部可能值为1,2,3，且
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
2．解析：记Ai表示大事：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，
B表示大事：甲需使用设备，C表示大事：丁需使用设备，
D表示大事：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2··C，
P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0,1,2，
所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2··C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2··C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P()P(C)＝0.31.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝P(·A0·)＝P()P(A0)P()＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，
P(X＝1)＝P(B·A0·＋·A0·C＋·A1·)＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()P(A1)P()＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.06
0.25
0.38
0.25
0.06
数学期望EX＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
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