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第4讲 平面对量的应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为
( )
A. B．2
C．5 D．10
解析 ∵·＝0，∴⊥，
∴四边形ABCD的面积S＝||·||＝××2＝5.
答案 C
2．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的外形确定是
( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0,2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°.
又依据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC确定是直角三角形．
答案 C
3．(2022·温州调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则·＝
( )
A．2 B．2
C．－2 D．－2
解析 由余弦定理得
cos A＝
＝＝－，
所以·＝||·||cos A
＝2×2×＝－2，故选D.
答案 D
4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是
( )
A．－ B．－
C. D.
解析 由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，
即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，
∴cos θ＝－，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案 D
5．(2021·杭州质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，则∠BAC的度数等于
( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 取BC的中点D，连接AD，则＋＝2 .由题意得3＝2，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.
答案 C
二、填空题
6．(2021·广州综合测试)在△ABC中，若A·A＝A·＝2，则边AB的长等于________．
解析 由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·A＝4，∴||＝2.
答案 2
7．(2022·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的最大值为________．
解析 以点A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1,1)，M，设E(x,0)，x∈[0,1]，则·＝(1－x,1)·＝(1－x)2＋，x∈[0,1]单调递减，当x＝0时，·取得最大值.
答案
8．(2021·太原模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．
解析 由题意可得a·b＝cos θ－sin θ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.
答案 4
三、解答题
9．(2021·杭州其次中学模拟)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求tan 2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．
解 (1)∵a∥b，∴sin x·(－1)－·cos x＝0，
即sin x＋cos x＝0，
tan x＝－，∴tan 2x＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝sin xcos x－＋cos2x＋1
＝sin 2x－＋cos 2x＋＋1
＝sin.
∵－≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤，
∴f(x)的值域为.
10．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解 (1)法一 ∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，
∴解得
即＝(2,2)，故||＝2.
法二 ∵＋＋＝0，
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2,2)，
∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
力气提升题组
(建议用时：35分钟)
11．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于
( )
A. B.π C.π D.π
解析 由题意知M，N，
又·＝×π－A2＝0，∴A＝π.
答案 B
12．(2021·舟山联考)已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．
解析 ＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，
∴·＝x＋y，·＝y，
即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划学问，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.
答案 3
13．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝________.
解析 ∵＝－＝(1－λ)－，
＝－＝λ－，
∴·＝－2⇒[(1－λ)－]·[λ－]＝－2，
化简得(1－λ)λ·－(1－λ)2－λ2＋·＝－2，又由于·＝0，2＝4，2＝1，所以解得λ＝.
答案
14．(2021·绍兴五校联考)已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
解 m·n＝sin cos ＋cos2
＝sin ＋×cos ＋
＝sin＋.
(1)∵m·n＝1，∴sin＝，
cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得
(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，
∴cos B＝，B＝.∴0＜A＜.
∴＜＋＜，
＜sin＜1.
又∵f(x)＝m·n＝sin＋，
∴f(A)＝sin＋，
故1＜f(A)＜.
故函数f(A)的取值范围是.
15．如图所示，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．
解 (1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由·＝·，得
(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得P的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M，
联立方程消去x，得
y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2＋16>0，
故
由＝λ1，＝λ2，得
y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，整理，得
λ1＝－1－，λ2＝－1－，
所以λ1＋λ2＝－2－＝－2－·
＝－2－·＝0.
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