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2022—2021学年度第一学期高三期末考研考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若复数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2、若集合，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．1 B． C．-1 D．
4、在区间内随机取出一个实数，则的概率为（ ）
A．0.5 B．0.3
C．0.2 D．0.1
5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
A．2022
B．2021
C．1008
D．1007
6、已知实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．2 B．0
C．-10 D．-1 5
7、如图为相互垂直的两个单位向量，则（ ）
A．20 B．
C． D．
8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下
一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上
的点到冰面的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
9、设是等差数列的前n项和，且成等比数列，则等于（ ）
A．1 B．1或2 C．1或3 D．3
10、已知函数，则它们的图象可能是（ ）
11、已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12、在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
13、已知，则二项式的开放式中的系数为
14、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的
表面积为
15、直线过椭圆的左焦点，且与椭圆
交于两点，为弦的中点，为原点，若
是以线段为底边的等腰三角形，则直线的斜率为
16、设互不相等的平面对量组，满足：①；②，
若，则的取值集合为
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，且。
（1）求；
（2）若，求的周长的最大值。
18、（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，为等比数列，且，。
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和。
19、（本小题满分12分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：
规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。
（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；
（2）从乙厂抽出上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及数学期望。
20、（本小题满分12分）
在三棱锥中，。
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值的确定值。
21、（本小题满分13分）
已知：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两个不同的点，过分别作抛物线的切线，且二者相交于点
（1）求证：；
（2）求的面积的最小值。
22、（本小题满分13分）
已知函数
（1）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；
（2）设函数在上有且只有一个零点，求的取值范围。
（其中为自然对数的底数）
2021年保定市高三调研考试理科答案
一.选择题：CBADD BCBCB AD
二.填空题：13．40． 14. 15. 16.
17、解：（1） 由于…………2分
………………………………………………………4分
（2）由（1）知，
由,得，……………7分
所以
所以，
所以周长的最大值为21……………………………………10分
18．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意可得： ………………3分
解得q=2或q=(舍)，d=2．
∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1，……………………6分
数列{bn}的通项公式是． ……………………7分
（2）Tn=
∴2Tn=……………………9分
∴-Tn=
∴Tn=，…………………………………………12分
19解：（1）甲厂平均值为…2分
乙厂平均值为…………4分
所以甲厂平均值大于乙厂平均值………………………………5分
（2）的取值为0，1，2，3. ………………………………6分
………………………………10分
所以的分布列为
0
1
2
3
故………………12分
20.解：（1）设为中点，连结，
， ,
⊥，. -----------------2分
同理, ⊥，
∴⊥平面
所以⊥ --------------------5分
（2）如图,建立空间直角坐标系.其中AB∥x轴
易得,又
、、
y
x
O
z
则，A,，， ------7分
， .
设平面的法向量为，
则 .
平面的一个法向量. --------9分
,
同理可求得平面CBP的一个法向量为
.-----------------12分
21. （1）证明：设LAB：,代入得
……………………2分
y
x
A
B
O
C
F
所以……………………………………………6分
②若k=0，明显…………………………………7分
（或
…………………………7分）
（2）解由（1）知，点C到AB的距离…………………8分
22. 解：（1）设切点坐标为，则切线的斜率为
所以切线的方程为………………2分
又切线过点（1，0），所以有
即 解得
所以直线的方程为…………………………………………4分
（或：设，则
单增，单减
有唯一解，
所以直线的方程为…………………………………………4分）
(2）由于，留意到g（1）=0
所以，所求问题等价于函数在上没有零点.
由于
所以由＜0＜00＜＜＞0＞
所以在上单调递减，在上单调递增.……………6分
①当即时，在上单调递增，所以>
此时函数g（x）在上没有零点………………………………7分
②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.
又由于g（1）=0,g(e)=e-ae+a，在上的最小值为
所以，（i）当1＜a时，在上的最大值g(e) 0，即此时函数g（x）在上有零点。………………………………8分
（ii）当 ＜a＜2时， g(e) ＜0，即此时函数g（x）在上没有零点.…10分
③当即时，在上单调递减，所以在上满足＜此时函数g（x）在上没有零点
综上，所求的a的取值范围是或＜a………………………………………12分
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