2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：5.3-等比数列及其前n项和-.docx

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(三十)
等比数列及其前n项和
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2021·南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于　(　　)
A.-24　　　　B.0　　　　C.12　　　　D.24
【解析】选A.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.
【加固训练】(2021·福州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-16,则x的值为　(　　)
A.13 B.-13 C.12 D.-12
【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-16　①,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=（x·3n-1-16）-（x·3n-2-16）=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,
由于{an}是等比数列,所以
由①②得x-16=2x3,解得x=12.
2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为　(　　)
A.100 B.1000 C.10000 D.10
【解析】选C.由于lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13=a83=106,所以a8=100,所以a1a15=a82=10000.
3.(2021·昆明模拟)在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是　(　　)
A.-2 B.-2 C.±2 D.2
【解析】选B.依据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,由a3a7=a52,所以a5=-a3a7=-2.
4.在等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于
　(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】选C.由于a3a11=a72=4a7,a7≠0,a7=4,所以b7=4.{bn}为等差数列,所以b5+b9=2b7=8,故选C.
【加固训练】已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=　(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】选D.由于数列{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-a72+2a11=0得4a7-a72=0,又an≠0,所以a7=4,所以b6b8=b72=42=16.
5.(2021·淮南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=an+1+k,则k=(　　)
A.1 B.-1 C.a D.-a
【解析】选D.当n=1时,a1=S1=a2+k,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+1+k-an-k
=an(a-1).
由于数列{an}是等比数列,
所以上式对n=1也成立,即a(a-1)=a2+k,
故k=-a.
【加固训练】(2021·青岛模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是(　　)
A.-3 B.3 C.-1 D.1
【解题提示】由Sn求an,而后由a1=S1求a.
【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,由于{an}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=　　　　.
【解析】方法一:由已知S6S3=3,知1-q61-q3=1+q3=3,所以q3=2,所以S9S6=1-q91-q6=1-231-22=73.
方法二:由已知S6S3=3,得S6=3S3,又由于S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简即得S9=7S3,从而S9S6=7S33S3=73.
答案:73
【加固训练】在正项等比数列{an}中,若1a2a4+2a42+1a4a6=81,则1a3+1a5=　　　　　.
【解析】由于a2a4=a32,a4a6=a52,a42=a3·a5.所以1a2a4+2a42+1a4a6=1a32+2a3a5+1a52=81,即又a3>0,a5>0,故1a3+1a5=9.
答案:9
7.(2021·徐州模拟)若等比数列{an}满足:a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=　　　;前n项和Sn=　　　.
【解析】由a2+a4=20,a3+a5=40,
得即
解得q=2,a1=2,
所以Sn=a1(1-qn)1-q=2(1-2n)1-2=2n+1-2.
答案:2　2n+1-2
8.定义“等平方和数列”:在一个数列中,假如每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列{an}是等平方和数列,且a1=1,平方和为5,且an>0,则a2021=　　　　,这个数列的前n项和Sn的计算公式为　　　　　　.
【解析】由定义知a12+a22=5,a1=1,所以a22=4,由于an>0,所以a2=2.又由a22+a32=5,所以a32=1,由于a3>0,所以a3=1,由此可知a4=2,a5=1,…
即数列{an}的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a2021=1.
当n为偶数时,Sn=n2(a1+a2)=32n,
当n为奇数时,Sn=n-12(a1+a2)+an=3(n-1)2+1=3n-12.故Sn=
答案:1　Sn=
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2021·莆田模拟)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*,若a7=20,S3=15.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若等比数列{bn}满足:b1=a1,b4=a2+a4,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知得:a1+6d=20,3a1+3d=15,解得:a1=2,d=3,所以an=3n-1,n∈N*.
(2)由(1)得b1=2,b4=16,设等比数列{bn}的公比为q,则q3=b4b1=8,解得:q=2.
所以数列{bn}的前n项和Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.
10.设f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=f2(n),数列{bn}中,b1=2,bn=f1(bn-1).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求证:数列{bn-1}是等比数列.
【解析】(1)由题意知Sn=n2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,a1=S1=1也适合上式,
故an=2n-1.
(2)由题意知bn=2bn-1-1,
即bn-1=2(bn-1-1),
由于b1-1=1,所以{bn-1}是以2为公比,
以1为首项的等比数列.
(20分钟　40分)
1.(5分)(2021·日照模拟)在等比数列{an}中,a7是a8,a9的等差中项,公比q满足如下条件:在△OAB(O为原点)中,OA→=(1,1),OB→=(2,q),∠AOB为钝角,则公比q等于(　　)
A.1 B.-1 C.-2 D.1或-2
【解析】选C.由于等比数列{an}中,a7是a8,a9的等差中项,所以2a7=a8+a9,即2=q+q2,解得q=1或q=-2,由于在△OAB(O为原点)中,OA→=(1,1),OB→=(2,q),
∠AOB为钝角,所以1×2+q<0,所以q=-2,故选C.
2.(5分)等比数列{an}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有an+1>an”的　(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.易知,当a1>0,且q>1时,an>0,所以=q>1,表明an+1>an;若对任意自然数n,都有an+1>an成立,当an>0时,同除以an得q>1,但当an<0时,同除以an得q<1.
3.(5分)(2021·唐山模拟)已知数列{an}是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,其次行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一列,则an=
　　　　　(n∈N*).

第一列
其次列
第三列
第一行
1
10
2
其次行
6
14
4
第三行
9
18
8
【解析】观看题中的表格可知a1,a2, a3分别为2,6,18,即{an}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=2·3n-1.
答案:2·3n-1
【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”
14
12,14
34,38,316
……
满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i,j∈N*),则(1)anm=　　　　　 　,
(2)a83=　　　　　　　　　.
【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比.
【解析】由已知第一列数列的通项为n4,从第三行起各行等比数列的公比为12.

答案:(1)n4·12m-1　(2)12
4.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+n+1,设bn=an+n+2
(1)证明:数列{bn}是等比数列.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求an和Sn.
【解析】(1)由bn=an+n+2,则bn+1bn=an+1+(n+1)+2an+n+2
=(2an+n+1)+n+3an+n+2=2(an+n+2)an+n+2=2,又b1=a1+3=4,故{bn}是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得bn=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-n-2,
故Sn=a1+a2+…+an=(22+23+…+2n+1)-(1+2+3+…+n)-2n=22(2n-1)2-1-n(n+1)2-2n=2n+2-n(n+5)2-4.
【加固训练】已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).
(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明:{bn}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.
【解析】(1)由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),
得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.
由b1=a2-a1=1,q≠0,
所以{bn}是首项为1,公式为q的等比数列.
(2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,…,an-an-1=qn-2(n≥2),
将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2),
即an=a1+1+q+…+qn-2(n≥2).
所以当n≥2时,an=1+1-qn-11-q,　q≠1,n,q=1.
上式对n=1明显成立.
(3)由(2),当q=1时,明显a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,
由q≠0得q3-1=1-q6,　①
整理得(q3)2+q3-2=0,
解得q3=-2.于是q=-32.
另一方面,an-an+3=qn+2-qn-11-q=qn-11-q(q3-1),
an+6-an=qn-1-qn+51-q=qn-11-q(1-q6),
由①可得an-an+3=an+6-an,
所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.
5.(13分)(力气挑战题)已知等比数列an满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求数列an的通项公式.
(2)是否存在正整数m,使得1a1+1a2+…+1am≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,则由已知可得a13q3=125,|a1q-a1q2|=10,
解得a1=53,q=3或a1=-5,q=-1,
故an=53·3n-1,或an=-5·(-1)n-1.
(2)若an=53·3n-1,
则1an=35·13n-1,
故1an是首项为35,公比为13的等比数列,
从而∑n=1m1an=35·1-13m1-13
=910·1-13m<910<1.
若an=(-5)·(-1)n-1,
则1an=-15(-1)n-1,
故1an是首项为-15,公比为-1的等比数列,
从而∑n=1m1an=-15,m=2k-1(k∈N*),0,m=2k(k∈N*).
故∑n=1m1an<1.
综上,对任何正整数m,总有∑n=1m1an<1.
故不存在正整数m,使得1a1+1a2+…+1am≥1成立.
【方法技巧】解决数列探究性问题基本方法
(1)对于条件开放的探究性问题,往往接受分析法,从结论和部分已知条件入手,执果索因,导出所需的条件.
(2)对于结论探究性问题,需要先得出一个结论,再进行证明.留意含有两个变量的问题,变量归一是常用的解题思想,一般把其中的一个变量转化为另一个变量,依据题目条件,确定变量的值.数列中大小关系的探究问题可以接受构造函数,依据函数的单调性进行证明,这是解决简洁问题常用的方法.
(3)处理规律探究性问题,应充分利用已知条件,先求出数列的前几项,依据前几项的特点透彻分析,发觉规律、猜想结论.
【加固训练】已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N*).
(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式.
(2)若{an}是等比数列,求{bn}的前n项和Sn.
(3)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)由于{an}是等差数列,a1=1,a2=a,所以an=1+(n-1)(a-1).
又由于b3=12,所以a3a4=12,
即(2a-1)(3a-2)=12.
解得a=2或a=-56.
由于a>0,所以a=2.所以an=n.
(2)由于数列{an}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),所以an=an-1.所以bn=anan+1=a2n-1.
由于bn+1bn=a2,所以数列{bn}是首项为a,公比为a2的等比数列.
当a=1时,Sn=n;当a≠1时,Sn=a(a2n-1)a2-1=a2n+1-aa2-1.
(3)数列{an}不能为等比数列.
由于bn=anan+1,
所以bn+1bn=an+1an+2anan+1=an+2an.
则an+2an=a-1.所以a3=a-1.
假设数列{an}能为等比数列.
由a1=1,a2=a,得a3=a2.所以a2=a-1,
此方程无解,
故数列{an}确定不能为等比数列.
关闭Word文档返回原板块