2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：5.3-等比数列及其前n项和-.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十)等比数列及其前n项和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2021南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24【解析】选A.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.【加固训练】(2021福州模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn=x3n-1-16,则x的值为()A.13B.-13C.12D.-12【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-16,当n2时,an=Sn-Sn-1=（x3n-1-16）-（x3n-2-16）=x(3n-1-3n-2)=2x3n-2,由于an是等比数列,所以由得x-16=2x3,解得x=12.2.已知各项均为正数的等比数列an中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为()A.100B.1000C.10000D.10【解析】选C.由于lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13=a83=106,所以a8=100,所以a1a15=a82=10000.3.(2021昆明模拟)在等比数列an中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是()A.-2B.-2C.2D.2【解析】选B.依据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-40,所以a30,a70,即a50,a50,故1a3+1a5=9.答案:97.(2021徐州模拟)若等比数列an满足:a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和Sn=.【解析】由a2+a4=20,a3+a5=40,得即解得q=2,a1=2,所以Sn=a1(1-qn)1-q=2(1-2n)1-2=2n+1-2.答案:22n+1-28.定义“等平方和数列”:在一个数列中,假如每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列an是等平方和数列,且a1=1,平方和为5,且an0,则a2021=,这个数列的前n项和Sn的计算公式为.【解析】由定义知a12+a22=5,a1=1,所以a22=4,由于an0,所以a2=2.又由a22+a32=5,所以a32=1,由于a30,所以a3=1,由此可知a4=2,a5=1,即数列an的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a2021=1.当n为偶数时,Sn=n2(a1+a2)=32n,当n为奇数时,Sn=n-12(a1+a2)+an=3(n-1)2+1=3n-12.故Sn= 答案:1Sn= 三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2021莆田模拟)已知an是等差数列,Sn为其前n项和,nN*,若a7=20,S3=15.(1)求数列an的通项公式.(2)若等比数列bn满足:b1=a1,b4=a2+a4,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由已知得:a1+6d=20,3a1+3d=15,解得:a1=2,d=3,所以an=3n-1,nN*.(2)由(1)得b1=2,b4=16,设等比数列bn的公比为q,则q3=b4b1=8,解得:q=2.所以数列bn的前n项和Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.10.设f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,数列an的前n项和为Sn,且Sn=f2(n),数列bn中,b1=2,bn=f1(bn-1).(1)求数列an的通项公式.(2)求证:数列bn-1是等比数列.【解析】(1)由题意知Sn=n2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,a1=S1=1也适合上式,故an=2n-1.(2)由题意知bn=2bn-1-1,即bn-1=2(bn-1-1),由于b1-1=1,所以bn-1是以2为公比,以1为首项的等比数列.(20分钟40分)1.(5分)(2021日照模拟)在等比数列an中,a7是a8,a9的等差中项,公比q满足如下条件:在OAB(O为原点)中,OA=(1,1),OB=(2,q),AOB为钝角,则公比q等于()A.1B.-1C.-2D.1或-2【解析】选C.由于等比数列an中,a7是a8,a9的等差中项,所以2a7=a8+a9,即2=q+q2,解得q=1或q=-2,由于在OAB(O为原点)中,OA=(1,1),OB=(2,q),AOB为钝角,所以12+q0,且q1”是“对于任意正整数n,都有an+1an”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.易知,当a10,且q1时,an0,所以=q1,表明an+1an;若对任意自然数n,都有an+1an成立,当an0时,同除以an得q1,但当an0时,同除以an得q1.3.(5分)(2021唐山模拟)已知数列an是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,其次行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一列,则an=(nN*).第一列其次列第三列第一行1102其次行6144第三行9188【解析】观看题中的表格可知a1,a2, a3分别为2,6,18,即an是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=23n-1.答案:23n-1【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”1412,1434,38,316满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN*),则(1)anm= ,(2)a83=.【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比.【解析】由已知第一列数列的通项为n4,从第三行起各行等比数列的公比为12.答案:(1)n412m-1(2)124.(12分)已知数列an满足a1=1,an+1=2an+n+1,设bn=an+n+2(1)证明:数列bn是等比数列.(2)设数列an的前n项和为Sn,求an和Sn.【解析】(1)由bn=an+n+2,则bn+1bn=an+1+(n+1)+2an+n+2=(2an+n+1)+n+3an+n+2=2(an+n+2)an+n+2=2,又b1=a1+3=4,故bn是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)得bn=42n-1=2n+1,所以an=2n+1-n-2,故Sn=a1+a2+an=(22+23+2n+1)-(1+2+3+n)-2n=22(2n-1)2-1-n(n+1)2-2n=2n+2-n(n+5)2-4.【加固训练】已知数列an中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0).(1)设bn=an+1-an(nN*),证明:bn是等比数列.(2)求数列an的通项公式.(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.【解析】(1)由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2.由b1=a2-a1=1,q0,所以bn是首项为1,公式为q的等比数列.(2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,an-an-1=qn-2(n2),将以上各式相加,得an-a1=1+q+qn-2(n2),即an=a1+1+q+qn-2(n2).所以当n2时,an=1+1-qn-11-q,q1,n,q=1.上式对n=1明显成立.(3)由(2),当q=1时,明显a3不是a6与a9的等差中项,故q1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,由q0得q3-1=1-q6,整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2.于是q=-32.另一方面,an-an+3=qn+2-qn-11-q=qn-11-q(q3-1),an+6-an=qn-1-qn+51-q=qn-11-q(1-q6),由可得an-an+3=an+6-an,所以对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.5.(13分)(力气挑战题)已知等比数列an满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在正整数m,使得1a1+1a2+1am1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,则由已知可得a13q3=125,|a1q-a1q2|=10,解得a1=53,q=3或a1=-5,q=-1,故an=533n-1,或an=-5(-1)n-1.(2)若an=533n-1,则1an=3513n-1,故1an是首项为35,公比为13的等比数列,从而n=1m1an=351-13m1-13=9101-13m9101.若an=(-5)(-1)n-1,则1an=-15(-1)n-1,故1an是首项为-15,公比为-1的等比数列,从而n=1m1an=-15,m=2k-1(kN*),0,m=2k(kN*).故n=1m1an1.综上,对任何正整数m,总有n=1m1an0).数列bn满足bn=anan+1(nN*).(1)若an是等差数列,且b3=12,求a的值及an的通项公式.(2)若an是等比数列,求bn的前n项和Sn.(3)当bn是公比为a-1的等比数列时,an能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)由于an是等差数列,a1=1,a2=a,所以an=1+(n-1)(a-1).又由于b3=12,所以a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-56.由于a0,所以a=2.所以an=n.(2)由于数列an是等比数列,a1=1,a2=a(a0),所以an=an-1.所以bn=anan+1=a2n-1.由于bn+1bn=a2,所以数列bn是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时,Sn=n;当a1时,Sn=a(a2n-1)a2-1=a2n+1-aa2-1.(3)数列an不能为等比数列.由于bn=anan+1,所以bn+1bn=an+1an+2anan+1=an+2an.则an+2an=a-1.所以a3=a-1.假设数列an能为等比数列.由a1=1,a2=a,得a3=a2.所以a2=a-1,此方程无解,故数列an确定不能为等比数列.关闭Word文档返回原板块