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宜昌市一中2022年秋季学期高二班级期中考试
数学（理）试题
命题：赵 波 审题：李海峰
满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题部分，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．我校现有职工240人，其中专任老师有184人，教辅人员32人，后勤人员24人，现用分层抽样从中抽取一容量为30的样本，则抽取教辅人员（ ）人
A．3 B．4 C．8 D．23
2．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次毁灭的点数之和 B．两次掷出的最大点数
C．第一次减去其次次的点数差 D、抛掷的次数
第3题图
3．如图是“中国好声音”歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出
的分数的茎叶图(其中为0～9中的一个正整数)，现将甲、乙所得的一个
最高分和一个最低分均去掉后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，
，中位数分别为，，则有（ ）
A． , B． ,
C． , D．与大小均不能确定
4．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同始终线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
5．iPhone 6是苹果公司（Apple）在2022年9月9日推出的一款手机，已于9月19日正式上市。据统计发觉该产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（百万元）
4
2
3
5
销售额（百万元）
44
25
37
54
依据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6百万元时销售额为( )
A．61．5百万元 B． 62．5百万元 C． 63．5百万元 D． 65．0百万元
6. 已知实数、满足 则=的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.有A、B、C、D、E共5人并排站一起，若A、B必需相邻，且B在A的右边，那么不同的站法有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
8．已知数列满足,,若, 则数列的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
9．设，，若直线与圆相切，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
10. 以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题部分，共100分）
第13题图
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．不等式的解集是_________.
12.若的二项开放式中项的系数为,则.
13．如图所示的程序框图可用来估量的值(假设函数RAND(－1，1)
是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个实数)．
假如输入1 000，输出的结果为788，则运用此方法估量的的近似
值为________．
14．如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求
每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同
第14题图
的涂色方法有 种.
15.已知，
对于,表示中相对应的元素不同的个数.
（1）令，存在个,使得=2，则= ；
（2）令,若,则全部之和为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16. (本题12分) 已知的开放式的二项式系数之和比的开放式的二项系数之和大992. 求的开放式中：
（1）常数项；
（2）系数最大的项．
17. （本题12分）某旅游公司为甲，乙两个旅游团供应四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．
⑴求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；
⑵某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个出名景点巡游，20分钟后巡游结束即离去．求两个旅游团在该出名景点相遇的概率．
18．宜昌市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必需先了解全市居民日常用电量的分布状况．现接受抽样调查的方式，获得了位居民在2022年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：
⑴求出值；
⑵求月均用电量的中位数与平均数估量值；
⑶若月用电紧急指数与月均用电量（单位：度）满足如下关系式：，将频率视为概率，请估算用电紧急指数的概率．
19．（本题12分）如图，在底面是正方形的四棱锥中，面， 交于点，是中点，为上一点．
（1）确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由；
（2）当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．
20．(本题13分) 已知圆过点，且与圆关于直线对称．
⑴求圆的方程；
⑵若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值；
⑶已知直线，是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，摸索究直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．
21．（本题14分）已知数列的前项和为，点在直线上．数列 满足，且，前11项和为.
⑴求数列、的通项公式；
⑵设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；
⑶设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
宜昌市一中2022年秋季高二数学（理）期中考试试题
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1-5：BDCDC 6-10:BAABD
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 12. -2 13. 3.152
14. 264 15.(1) (2)
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16.（1）n=5，常数项 ……………………………6分
（2） ……………………………12分
17.解：(1)用1,2,3,4表示四条不同的旅游线路，甲选旅游线路a，乙选旅游线路b，用(a，b)表示a，b＝1,2,3,4.
全部的基本大事为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
记“甲，乙两个旅游团所选旅游线路不同”为大事A，
∴P(A)＝＝.
答：甲，乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率为.---------6分
(2)设甲，乙两个旅游团到达出名景点的时刻分别为x，y，
依题意，，即，
作出不等式表示的平面区域如图．
记“两个旅游团在出名景点相遇”为大事B
P(B)＝＝，
答：两个旅游团在出名景点相遇的概率为.------12分
18. 解：（1）第3组的频率=0.030×10=0.30
样本容量n==100 …………3分
（2）由，
…………6分…
所以平均数是33 . …………9分
（3）由y>70% 得，∴x>40 …………10分
所以，用电紧急指数y>0.7的概率=0.15+0.15=0.30 …………12分
19．
解：（1）当为中点，即时，平面，
理由如下：连结，由为中点，为中点，知，
而平面，平面，故平面． …………5分
（2）作于，连结，∵面，四边形是正方形，
∴，又∵，，∴，
∴，∴是二面角的平面角， 即，∵⊥面，∴就是与底面所成的角连结，则，，，∴，∴，∴，∴∴与底面所成角的正切值是．另解：用向量法请参照给分. …………12分
20. 解：(1)设圆心O(a，b)，
则解得
则圆O的方程为x2＋y2＝r2，将点的坐标代入得r2＝2，故圆O的方程为x2＋y2＝2.………3分
（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为.
则
∴
∴
当且仅当 即 时，取“=”
∴四边形EGFH的面积的最大值为. ………8分
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设.
其方程为：
即 ①
又C、D在圆O：上②
②-①∴ 即
由 得
∴直线CD过定点 ………13分
21.解：（1）由题意，得，即．
故当时，-．
留意到时，，而当时，，
所以， ．
又，即，
所以为等差数列，于是．
而，故，，
因此，，
即． …………………5分
（2）
．
所以，
．
由于
因此单调递增，故．
令，得，所以． ……………10分
（3）
① 当m为奇数时，为偶数．
此时，
所以, (舍去)
② 当m为偶数时，为奇数．
此时，，，
所以，（舍去）．
综上，不存在正整数，使得成立． ……………14分
（其他解法请酌情给分）
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