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嘉兴市第一中学2022学年第一学期期中考试
高二数学 试题卷
命题：刘舸 审题：冯霄
满分[100]分 ，时间[120]分钟 2022年11月
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．2倍 C.倍 D.倍
2.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．6 B．8 C．2＋3 D．2＋2
3.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
1
1
1
1
A
B
C
D
4.下列命题中，正确的命题是（ ）
（1）有两个面相互平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
（4）四周体都是三棱锥
A.② B.① ② C.①②③ D.②③④
5.对于平面和共面的直线、下列命题中正确的是（ ）
A.若则 B.若，则
C.若则 D.若、与所成的角相等，则
6.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝，则三棱锥D－ABC的体积
为（ ）
A. B. C. D.
7．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点是的垂心 B．垂直平面
C．的延长线经过点 D．直线和所成角为
8．如图，在棱长为a的正方体中，EF是棱AB上的一条线段，且
EF＝b＜a，若Q是上的定点，P在上滑动，则四周体PQEF的体积（ ）
A．是变量且有最大值 B．是变量且有最小值
C．是变量无最大最小值 D．是常量
9.已知异面直线、所成角为，经过定点P与、所成的角均为的平面有（ ）
A．1个 B. 2个 C.3个 D.很多
10.正三棱柱中，各棱长均为2，M为中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是（ ）
A． B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11. 若一个圆锥的侧面开放图是面积为的半圆面,则该圆锥的体积为________.
12. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .
13.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．
14.正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积为 .
15.定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面，使△ABC的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有 个.
16.在四周体ABCD中，已知，，，且、、两两所成角为，则四周体ABCD的体积为_________.
17.如图，正四周体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面，则正四周体上的全部点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．
三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（见答题卷）
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密
封
线
班 级
学 号
姓 名
（密 封 线 内 不 要 答 题）
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嘉兴市第一中学2022学年第一学期期中考试
高二数学 答题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11． ． 12． ． 13． ．
14． ． 15． ． 16． ．
17． ．
三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 =，D 是A1B1 中点．
（1）求证C1D ⊥平面A1B；
（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论.
19.如图，在三棱锥中，平面ABC，，，D为PC中点，E为PB上一点，且平面ADE．
（1）证明：E为PB的中点；
（2）若，求直线AC与平面ADE所成角的正弦值．
20.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点.
（1）求证：AF//平面PCE；
（2）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，CD=3，求四周体的体积.
21. 在边长为的正方形中，分别为上的点，且，连结交于点，现沿将正方形折成直二面角.
（1）求证：无论怎样平行移动（保持），的大小不变并求出此定值；
（2）当在怎样的位置时，点到面的距离最大？
A
B
C
D
N
M
P
A
B
C
D
M
N
P
22.如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC. 若，求二面角Q-PB-A的余弦值.
Q
P
A
B
C
18. 证明：（1）如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中点，
∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求，F为中点。
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
19. （Ⅰ）证明：∵平面ADE，平面PBC，
平面平面，
∴．
∵D为PC中点，∴E为PB的中点．
（Ⅱ）∵，E为PB的中点，∴，
又，∴平面ADE，
得，且平面平面ADE．
由，得．
20. 证：（1）取PC中点M，连ME，MF
∵FM//CD，FM=，AE//CD，AE=
∴AE//FN，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形
∴AE//EM，
∵AF平面PCEAF//平面PCE
解：（2）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，
∴CD⊥PD
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，
∴∠PDA=45°
∴△PAD是等腰Rt∠，而EM//AF。
又∵AF⊥CD
∴AF⊥面PCD，而EM//AF
∴EM⊥面PCD
又EM面PEC，
∴面PEC⊥面PCD
在面PCD内过F作FH⊥PC于H则FH为点F到面PCE的距离
由已知PD=
∵△PFH∽△PCD
∴
A
B
C
D
H
N
M
P
∴，
22. 解法一：设，，
为定值
过作于，则的长度为点到面的距
而即当取最大值，当，取最小值，时，
22 ．方法一：
解：（I）证明：过点作于点，
∵平面⊥平面 ∴平面
又∵⊥平面
∴∥ 又∵平面
∴∥平面
（Ⅱ）∵平面
∴ 又∵
∴ ∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面 ∴∥，
∴四边形是矩形
设
∴， ∴
过作于点，
∴，
取中点，连结，取的中点，连结
∵， ∴∥
∵ ∴ ∴
∴为二面角的平面角
连结，则 又∵
∴
即二面角的余弦值为
方法二:
（I）同方法一
（Ⅱ）∵平面
∴，又∵
∴ ∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面 ∴∥，
∴四边形是矩形
分别以为轴建立空间直角坐标系
设，则，，，
设平面的法向量为
∵，
∴
又∵平面的法向量为
设二面角为，则
又∵二面角是钝角
∴
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