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第7讲 抛物线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·合肥质量检测)抛物线x2＝y的焦点坐标为 ( )
A. B.
C. D.
解析 抛物线x2＝y的焦点坐标是.
答案 D
2．(2022·西宁复习检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为 ( )
A．2 B.1
C. D.
解析 曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2，故选A.
答案 A
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ( )
A．y＝12x2 B.y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D.y＝x2或y＝－x2
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
答案 D
4．(2021·福建质量检查)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝ ( )
A．2 B.3
C．4 D.5
解析 依题意，不妨设直线l：y＝x，则由
得或此时点P(4,4)，|PF|＝4＋1＝5，
故选D.
答案 D
5．(2022·新课标全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝ ( )
A. B.6
C．12 D.7
解析 焦点F的坐标为，
法一 直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，
即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，故选C.
法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝＝＝12.
答案 C
二、填空题
6．(2021·北京西城区模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，且点M的横坐标为2，则|MF|＝________.
解析 由抛物线的定义可知|MF|＝xM＋＝2＋1＝3.
答案 3
7．(2022·北京海淀区模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________.
解析 由题意知抛物线的准线为x＝－，双曲线x2－y2＝1的左顶点为
(－1,0)，所以－＝－1，p＝2.
答案 2
8．(2022·银川质量检测)已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
答案 x－y－1＝0
三、解答题
9.如图，已知抛物线y2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
解 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，
则直线OB的方程为y＝－x，
由得x＝0或x＝.
∴A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，可得
②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.
则p2＝＝.
又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|；
(2)求证：·是一个定值．
(1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明 设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2021·太原模拟)已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 ( )
A．4 B.
C．5 D.
解析 由于点P在抛物线上，所以d1＝|PF|－(其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝|PF|＋|PA|－≥|AF|－＝－＝5－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，故选B.
答案 B
12．(2022·四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ( )
A．2 B.3
C. D.
解析 如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则＝(m2，m)，＝(n2，n)，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.
∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，
解得x＝－mn＝2，∴C(2,0)．
S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.
答案 B
13．(2022·湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
解析 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，明显不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k＜0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
14.已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
解 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.
由
解得点M的横坐标xM＝＝＝.
同理，点N的横坐标xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|＝
＝8＝，
令4k－3＝t，t≠0，则k＝.
当t>0时，|MN|＝2>2.
当t<0时，|MN|＝2≥ .
综上所述，当t＝－，即k＝－时，
|MN|的最小值是 .
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