高中数学(北师大版)必修五教案：1.3-拓展资料：等比数列的派生数列.docx

等比数列的派生数列
　　我们商定由等比数列的组合生成的新数列为派生数列，派生数列有格外秀丽的性质．
　　性质1 设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，i∈N，i≥1，若b1＝ai，b2＝ai+k+1，b3=ai+2(k+1)，…，bn＝ai+(n-1)(k+1)，…，则数列{bn}仍为等比数列，其公比为qk+1．

　　特殊地，当i＝1，k＝1时，{bn}成为{an}的全部奇数项组成的数列；当i＝2，k＝1时，{bn}由{an}的全部偶数项组成，明显它们均为等比数列．且公比为q2．
　　性质2 设等比数列{an}的公比为q，k∈N．k≥1，若b1＝a1＋a2＋…＋ak，b2＝ak+1＋ak+2＋…＋a2k，…，bn＝a(n-1)k+1＋a(n-1)k+2＋…＋ank，…，则数列{bn}仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Snk－S(n-1)k，…成等比数列，其公比为qk．

　　特殊地，当k＝3时，b1＝a1＋a2＋a3，bi＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n，…，明显，{bn}是公比为q3的等比数列，此即为1999年全国高中数学联赛的一道试题．
　　推广 设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，λ∈R．

　　特殊地，当λ＝1时，即成性质2，当λ＝2时，用途广泛．
　　性质3 设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，若b1＝a1a2…ak，b2＝ak+1ak+2…a2k，…bn＝a(n-1)k+1a(n-1)k+2…an)k，…，则{bn}仍为等比数列，其公比为qk2．