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2021－2022学年上期第一次摸底考试
高三数学（文）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。）
1．已知集合，集合（e是自然对数的底数），则
＝
A． B． C． D．
2．己知，则“＝1”是“i为纯虚数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，且，则角α是
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题中正确的是
A．命题“，使得”的否定是“，均有”；
B．命题“若，则x＝y”的逆否命题是真命题：
C．命题“若x＝3，则”的否命题是“若，则”；
D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．
5．设，则
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．b＞c＞a
6．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图
是等边三角形，则该几何体的体积等于
A． B．
C． D．
7．若向量a与b的夹角为120，且, C＝a＋b，则有
A．cb B．ca
C．c∥b D．c∥a
8．执行如图所示的程序框图，若输出的n＝5，则输入整
数p的最大值是
A．7 B．8
C．15 D．16
9．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为
C上一点，若，则POF的面积为
A． B．
C．2 D． 3
10．己知函数的图象在点处的
切线与直线3x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为，则的值为
A． B． C． D．
11．己知e是自然对数的底数，函数的零点为a，函数g（x）＝lnx＋x－2
的零点为b，则下列不等式中成立的
A． B．
C． D．
12．已知定义在R上的函数f（x）满足，当时，，其中t＞0，若方程恰有3个不同的实数根，
则f的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知实数x，y满足，则的最小值是__________
14．若直线y＝kx－1与圆相交于P、Q两点，且POQ ＝120（其中O为原点），则k的值为______________．
15．定义行列式运算 ，将函数 的图象向左平移
t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为___________．
16．在ABC中，，D是AB边上的一点，，△CBD的面积为1，则AC边的长为______________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知函数，的图象的两条相
邻对称轴间的距离等于，在ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，若，
b＋c＝3，，求ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
对某校高二班级同学参与社区服务次数进行统计，随机抽取M名同学作为样本，得到
这M名同学参与社区服务的次数依据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直
方图如下：
（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）在所取样本中，从参与社区服务的次数不少于20次的同学中任选2人，求至多一人参与社区服务次数在区间内的概率
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，D，E分别是AB，的
中点
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，求三棱锥
的体积．
20．（本小题满分12分）
设数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和．
21．（本小题满分12分）
己知函数，其中a＞0
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线x－y－l＝0是曲线y＝的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设，求g(x)在区间上的最大值（其中e为自然对数的
底数）
【选做题】
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
在ABC中，D是AB边上一点，ACD的外接圆交BC
于点E，AB＝2BE
（Ⅰ）求证：BC＝ 2BD；
（Ⅱ）若CD平分ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
己知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（Ⅰ）将圆的参数方程化为一般方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆，是否相交，若相交，恳求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数，
（Ⅰ）当a＝2，解不等式，；
（Ⅱ）若的解集为，，求证：．
2021－2022学年上期第一次摸底考试
高三数学（文）试题
（参考答案）
一．选择题.ABDCC DBCBA CB
二．填空题.13. 14. 15. 16.
三．解答题.
17.解：
………………3分
∴函数的最小正周期，
由题意得：，即解得： ………………5分
，
，，,即.
………………7分
∴由余弦定理得：即 ①，
………………9分
②，联立①②，解得：，
则 ………………12分
18.解：（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，所以
………………2分
由于频数之和为，所以，. . ………………4分
由于是对应分组的频率与组距的商，所以 ………………6分
（Ⅱ）这个样本参与社区服务的次数不少于20次的同学共有人，
设在区间内的人为，在区间内的人为.
则任选人共有10种状况， ………………8分
而两人都在内共有3种， ………………10分
至多一人参与社区服务次数在区间内的概率. ………………12分
19.（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF. ………………2分
由于平面A1CD，平面A1CD， ………………4分
所以BC1∥平面A1CD ………………5分
（Ⅱ）由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC,
由于CD平面ABC， 所以AA1⊥CD， ………………6分
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，………………7分
又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1， ………………8分
由AA1=AC=CB=2，AB=得
∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3，
故A1D2+DE2=A1E2，DE⊥A1D，
所以 ………………12分
20.解：（1）由已知，得，
………………2分
………………4分
………………6分
（Ⅱ）由知 .①
从而.②
①-②得.
………………10分
即. ………………12分
21. 解：（Ⅰ），（）， ………………1分
在区间和上，；在区间上，.
所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.……………3分
（Ⅱ）设切点坐标为，则
解得，. ………………6分
（Ⅲ），则， ………………7分
解，得，
当，即时，在区间上，为递增函数，
所以最大值为. ………………8分
当，即时，在区间上，为递减函数，
所以最大值为. ………………9分
当，即时，的最大值为和中较大者；
，解得，
所以，时，最大值为，
时，最大值为. ………………11分
综上所述，当时，最大值为，
当时，的最大值为. ………………12分
22．（I）依据割线定理得 …………2分
由于，所以 ………………4分
（II）由得 ，
又 ∽，知，………6分
又，∴， ∵，∴，
而是的平分线∴， ………………8分
设，由
得，解得，即 ………………10分
23. （Ⅰ）由得 ………………2分
又
即 ………………5分
（Ⅱ）圆心距得两圆相交，…………6分
由得直线的方程为 …………7分
所以，点到直线的距离为 …………8分
…………10分
24.（I）由已知可得，原不等式可化为
等价于或或
解得或或原不等式的解集为 ………………5分
（II）依题可知，所以，即 …………7分
…………9分
当且仅当，,即时取等号 ………………10分
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