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课时作业35 基本不等式
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·宁波模拟)若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：∵a>0，b>0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.当且仅当a＝1，b＝时等号成立．
答案：A
2．函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
解析：∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．
答案：A
3．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，
∵与共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.
∵a>0，b>0，
∴＋＝(＋)(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋4＝8，
当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．
答案：C
4．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为9 000元，年修理费第一年是2 000元，以后逐年递增2 000元．问这种汽车使用________年时，它的年平均费用最小( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：设汽车使用n年时，年平均费用为y，则
y＝＝＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当n＝10时，年平均费用y最小，选B.
答案：B
5．(2022·陕西)小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a<v< B．v＝
C.<v< D．v＝
解析：v＝＝<＝，
由于v－a＝－a＝＝>＝0，所以>0，故选A.
答案：A
6．(2022·咸阳模拟)设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )
A．2 B．4
C．2 D．5
解析：2a2＋＋－10ac＋25c2
＝2a2＋－10ac＋25c2
＝2a2＋－10ac＋25c2
≥2a2＋－10ac＋25c2(b＝a－b时取“＝”)
＝2a2＋－10ac＋25c2＝(a2＋)＋(a－5c)2≥4(当且仅当a＝，b＝，c＝时取“＝”)，故选B.
答案：B
7．(2022·上饶模拟)已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：(1)∵x<0，∴－x>0，
∴x＋－2＝－[(－x)＋]－2
≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立．
答案：C
8．已知向量a＝(x，－1)，b＝(y－1,1)，x，y∈R＋，若a∥b，则t＝x＋＋y＋的最小值是( )
A．4 B．5
C．6 D．8
解析：由a∥b，得x＋y＝1，
t＝t(x＋y)＝(1＋＋)(x＋y)
＝1＋2＋(＋)≥3＋2＝5，
当x＝y＝时，t取得最小值5.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·北京朝阳模拟)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
10．(2022·山东潍坊一模，14)设0<x<2，则函数y＝的最大值为________．
解析：∵0<x<2，∴2－x>0，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号．
∴当x＝1时，函数y＝的最大值是.
答案：
11．(2022·山东临沂一模，14)已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是________．
解析：∵x、a、b、y成等差数列，
∴a＋b＝x＋y.
∵x、c、d、y成等比数列，∴cd＝xy，
则＝＝＋＋2≥4(x>0，y>0)，当且仅当＝时，取等号．故答案为4.
答案：4
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)求＋的最小值；
解：(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝(＋)·＝(7＋＋)≥(7＋2)＝，当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
13．(2021·安徽理，17)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．
解：(1)由于方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，故f(x)>0的解集为{x1<x<x2}，因此区间I＝(0，)，区间长度为.
(2)设d(a)＝(a>0)，则d′(a)＝，令d′(a)＝0，得a＝1，由于0<k<1，故
当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增；
当1<a≤1＋k时，d′(a)<0，d(a)单调递减．
因此当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得
而＝＝<1，
故d(1－k)<d(1＋k)．
因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k,1＋k]上取得最小值.
14.
桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某争辩单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目预备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘四周的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．
(1)试用x表示S；
(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
解：(1)由图形知，3a＋6＝x，∴a＝.
则总面积S＝(－4)·a＋2a(－6)
＝a(－16)＝(－16)
＝1 832－(＋)，
即S＝1 832－(＋)(x>0)．
(2)由S＝1 832－(＋)，
得S≤1 832－2＝1 832－2×240＝1 352.
当且仅当＝，此时，x＝45.
即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米．
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