浙江省浙大附中2021届高三高考全真模拟数学(理)试卷-Word版含答案.docx

浙大附中2021年高考全真模拟试卷
数学（理科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟.
参考公式：
柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式 其中R表示球的半径，h表示台体的高
球的体积公式 其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题
1．设集合，，则集合等于 （ ▲ ）
（A） （B） （C） （D）
2. 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间上单调递增的是 （ ▲ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 已知为实数,则“”是“且”的 （ ▲ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4．下列命题中错误的是 （ ▲ ）
（A） 假如平面平面，平面平面，，那么
（B） 假如平面平面，那么平面内确定存在直线平行于平面
（C）假如平面不垂直于平面，那么平面内确定不存在直线垂直于平面
（D） 假如平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
（第5题图）
5. 如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数
的解析式是 （ ▲ ）
（A） （B）
（C） （D）
6. 已知双曲线与圆交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是 （ ▲ ）
（A） （B） （C） （D）
7．用餐时客人要求：将温度为、质量为的同规格的某种袋装饮料加热至.服务员将袋该种饮料同时放入温度为、质量为的热水中，分钟后马上取出．设经过分钟饮料与水的温度恰好相同，此时，该饮料提高的温度与水降低的温度满足关系式，则符合客人要求的可以是 （ ▲ ）
（A） （B） （C） （D）
（第8题图）
8. 如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是 （ ▲ ）
（A） （B）
（C） （D）（2，4]

非选择题部分（共110分）
二、填空题
9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，且，
则 ▲ ， ▲ ， ▲ ．
10. 已知点在直线 上，则 ▲ ； ▲ ．
（第12题图）
11. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值为 ▲ ；若该平面区域存在点使成立，则实数的取值范围是 ▲ .
12. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积为 ▲ ，其外接球的表面积为 ▲ .
13. 非零向量夹角为，且，则的取值范围为　　 ▲　　．
14. 实数满足，设，则 ▲ ．
15. 已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （本题15分）在中，内角的对边分别为，且，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设边的中点为，，求的面积．

17. （本题15分）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且.
Q
P
A
B
C
（第17题图）
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

18. （本题15分）已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为3.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率的取值范围.

19. （本题15分）已知数列中，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：对一切，有．

20. （本题14分）已知函数，其中
（Ⅰ）若函数、存在相同的零点，求的值；
（Ⅱ）若存在两个正整数、，当时，有与同时成立，求的最大值及取最大值时的取值范围.

数学（理科）答案
1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A
9．, , 10． ， 11．， 12．，
13． 14． 15．
16.解：（Ⅰ）由，得，
又，代入得，
由，得，
，
得，
（Ⅱ），
，，则

17.方法一：
（Ⅰ）证明：过点作于点，
∵平面⊥平面 ∴平面
又∵⊥平面
∴∥ 又∵平面
∴∥平面
（Ⅱ）解：∵平面
∴ 又∵
∴ ∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面 ∴∥，
∴四边形是矩形
设
∴， ∴
过作于点，
∴，
取中点，连结，取的中点，连结
∵， ∴∥
∵ ∴ ∴
∴为二面角的平面角
连结，则 又∵
∴
即二面角的余弦值为
方法二:
（I）证明：同方法一
（Ⅱ）解：∵平面
∴，又∵
∴ ∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面 ∴∥，
∴四边形是矩形
分别以为轴建立空间直角坐标系
设，则，，，
设平面的法向量为
∵，
∴
又∵平面的法向量为 ……12分
设二面角为，则

又∵二面角是钝角
∴
即二面角的余弦值为。
18.(Ⅰ)由得，
由，解得.
设椭圆的标准方程为，则解得，
从而椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)　过的直线的方程为，，，
由，得，因点在椭圆内部必有，
有，
所以|FA|·|FB| ＝(1 + k2 )|(x1 – 1)(x2 – 1 )|
由， 得，
解得或，
所以直线的斜率的取值范围为.
19.解（Ⅰ）由已知，对有 ，
两边同除以n，得 ，
即 ，
于是，，
即 ，
所以 ，．
又时也成立，故．
（Ⅱ）当，有
，
所以时，有

又时，
故对一切，有．

20．解（Ⅰ）=

，
，
经检验上述的值均符合题意，所以的值为 ……5分

（Ⅱ）令则，为正整数，， ……6分
记，
令的解集为， 则由题意得区间. ……7分
①当时，由于，故只能，
即或，又由于，故，此时.
又Z ，所以. ………9分
当且仅当即时，可以取4，
所以，的最大整数为4； ………11分
②当时，，不合题意； ………12分
③当时，由于，，
故只能无解；
综上，的最大整数为4，此时的取值范围为． ………14分