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其次章 ２．8 第8课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是( )
A．－2,3 B．2,3
C．2，－3 D．－2，－3
答案 B
解析 由f(x)＝－x2＋5x－6＝0，得x＝2,3.即函数f(x)的零点．
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上( )
A．有两个零点 B．有三个零点
C．仅有一个零点 D．无零点
答案 C
解析 由于f(x)＝x3－x2－x＋1
＝(x2－1)(x－1)
令f(x)＝0得x＝－1,1，
因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．
3．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是( )
答案 B
解析 用二分法只能求变号零点的近似值，而B中的零点左右值同号．
4．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[－2，－1] D．[－1,0]
答案 D
解析 函数f(x)在区间[a，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图象连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.
5．(2010·天津，文)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2,1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 C
解析
由f(x)＝0得ex＋x－2＝0，即ex＝2－x.
∴原函数的零点就是函数y＝ex与y＝2－x图象交点的横坐标x0，明显0<x0<1.
6．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 令f(x)＝lnx＋x－4，留意到函数在定义域上是增函数，f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝ln3－1>0，故函数在(2,3)上有唯一实数根．
7.
函数f(x)＝lnx－的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 如图可知，y＝与y＝lnx的图象有两个交点．
8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 B
解析 由题意可知f(－2)＝－6＜0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0， f(1)＞0，f(2)＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此在区间(－1,0)上确定有零点．因此选B.
二、填空题
9.
右图是用二分法求方程2x＋3x＝7在(1,2)内近似解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图中(1)处应填________，(2)处应填________．
答案 f(a)·f(m)<0 |a－b|<0.01或f(m)＝0
解析 由二分法求解过程及程序框图的运行过程可得出答案．
10．若f(x)的图象关于y轴对称，且f (x)＝0有三个零点，则这三个零点之和等于________．
答案 0
解析 由于方程f(x)＝0有三个根，且f(x)为偶函数，则一根为零，而另二根为互为相反数．
11函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
答案 2
解析 求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
答案 x1<x2<x3
解析 令函数f(x)＝x＋2x＝0，由于2x恒大于零，故要使得x＋2x＝0，x必需小于零，即x1小于零；令g(x)＝x－logx＝0，则x＝logx，要使得logx有意义，必需有x>0，又x＝logx，从而0<x<1，即0<x2<1；令h(x)＝log2x－＝0，得：log2x＝，则x>1，即x3>1，从而x1<x2<x3.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．
答案 m＝－2，零点是x＝0
解析 解法一 令2x＝t，则t>0，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0
仅有一正根，而g(0)＝1>0，故
∴m＝－2.
解法二 令2x＝t，则t>0.
原函数零点，即方程t2＋mt＋1＝0的根
∴t2＋1＝－mt
∴－m＝＝t＋(t>0)
有一个零点，即方程只有一根
∵t＋≥2(当且仅当t＝即t＝1时)
∴－m＝2即m＝－2时，只有一根．
注：解法一侧重二次函数，解法二侧重于分别参数．
14．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，当x∈[－2,2]时，函数至少有一个零点，求a的范围．
答案 a≤－7或a≥2
解析 (1)有一个零点，则f(－2)f(2)<0或f(－2)＝0或f(2)＝0
∴a≤－7或a>
(2)有两个零点
∴2≤a≤
综合以上：a≤－7或a≥2.
拓展练习·自助餐
1．若x0是方程()x＝x的解，则x0属于区间( )
A．(，1) B．(，)
C．(，) D．(0，)
答案 C
解析 结合图形()>()，()<()，∴x0属于区间(，)．
2．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 令f(x)＝x3－()x－2，f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，∴x0∈(1,2)．
3．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则( )
A．－1<a<1 B．a>1或a<－2
C．－2<a<1 D．a>2或a<－1
答案 C
解析 由条件知f(1)<0，即a2＋a－2<0，
∴－2<a<1.
4．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
答案 B
解析 由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.
5．如图是二次函数f(x)＝x2－bx＋a的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是( )
A．(，) B．(，1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 B
解析 由于f(1)＝0，即b＝a＋1，又f(0)＝a>0，所以b>1，又对称轴为∈(0,1)，所以0<b<2，即1<b<2，又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝lnx＋2x－b，又g(1)＝2－b>0，g()＝ln＋1－b<0，所以函数g(x)的零点在区间(，1)上，故选B.
老师备选题
1．设函数f(x)＝4sin (2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
答案 A
解析 f(0)＝4sin 1>0，f(2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π，所以sin 5<0，故f(2)<0，故函数f(x)在[0,2]上存在零点；由于f(－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数f(x)在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x＝∈[2,4]，则f()＝4sin－>0，而f(2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．综合各选项可知选A.
2．(高考改编)已知f(x)＝ex－k－x，其中x∈R，当k>1时，推断函数f(x)在[k,2k]内有无零点．
解 f(k)·f(2k)＝(ek－k－k)·(e2k－k－2k)＝(1－k)·(ek－2k)．∵k>1，∴1－k<0.
令g(k)＝ek－2k，g(1)＝e1－2>0，
又g′(k)＝ek－2，
当k>1时，g′(k)>e－2>0，
∴k∈(1，＋∞)，g(k)为增函数．
∴g(k)>g(1)>0.∴k>1时，ek－2k>0.
∴f(k)·f(2k)<0.
∴即函数f(x)当k>1时在[k,2k]内存在零点．
3．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( )
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<a<c D．c<a<b
答案 B
解析 由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h()＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈(，1)，因此a<c<b.
4．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
答案 (1)m≥2e (2)m>－e2＋2e＋12
解析 (1)解法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．
解法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的图象如图：
可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.
解法三：解方程g(x)＝m，即x2－mx＋e2＝0(x>0)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋(x>0)的图象如图．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是m>－e2＋2e＋1.
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