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课时提升作业(十)
函数的图象
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分,共48分)
1.(2022·杭州模拟)函数y=lg|x|x的图象大致是( )
【解析】选D.函数y=f(x)=lg|x|x为奇函数,所以图象关于原点对称,排解A,B.当x=1时,f(1)=lg|x|x=0,排解C,选D.
2.若lga+lgb=0(其中a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象( )
A.关于直线y=x对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.关于原点对称
【解析】选C.由lga+lgb=0,得ab=1,且a>0,a≠1,b>0,b≠1.g(x)=bx=1ax=a-x,故选C.
3.(2022·烟台模拟)设函数f(x)=2x,则如图所示的函数图象对应的函数是( )
A.y=f(|x|)
B.y=-|f(x)|
C.y=-f(-|x|)
D.y=f(-|x|)
【解析】选C.由于当x=0时,y=-1,所以排解A,D.又由于函数的图象关于y轴对称,所以函数为偶函数,所以排解B,故选C.
4.(2021·四川高考)函数y=x33x-1的图象大致是( )
【解析】选C.首先考虑当x<0时,函数值应为正值,所以排解选项B,当x=0时解析式没有意义,故排解选项A,当x无穷大时,考虑指数函数比幂函数增长快,所以函数值越来越小,故选C.
【方法技巧】巧用函数值的变化趋势及特殊值知式选图,对于给解析式选图象问题除把握一般方法外,还应依据解析式结合所给图象,机敏运用特殊值及函数值的变化趋势排解错误的选择支,快速选择.
5.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)= x2+2x-1,x≥0,x2-2x-1,x<0,
则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( )
A.f(x1)+f(x2)<0 B.f(x1)+f(x2)>0
C.f(x1)-f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0
【解析】选D.函数f(x)的图象如图所示,
且f(-x)=f(x),
从而函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.
又0<|x1|<|x2|,所以f(x2)>f(x1),
即f(x1)-f(x2)<0.
6.(2022·郑州模拟)若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是( )
A.(-1,0) B.(-∞,0)∪(1,2)
C.(1,2) D.(0,2)
【思路点拨】先作出f(x)的图象,再通过图象变换作出函数y=f(x-1)的图象,数形结合求解.
【解析】选D.依据函数的性质作出函数f(x)的图象如图,把函数f(x)向右平移1个单位,得到函数f(x-1),如图,则不等式f(x-1)<0的解集为(0,2).
7.(2021·温州模拟)已知以4为周期、定义域为R的函数f(x)=
m(1-|x|),x∈(-1,1],-cosπx2,x∈(1,3],其中m>0,若函数f(x)的图象与y=x3的图象恰有5个不同的交点,则m的取值范围为( )
A.43,+∞ B.43,+∞ C.43,83 D.43,83
【解析】选C.在同始终角坐标系中,画出函数f(x)的图象与y=x3的图象,如图所示,由图象知,要使函数f(x)的图象与函数y=x3的图象恰有5个不同的交点,则有43<m<83,故选C.
8.(力气挑战题)已知偶函数f(x)(x∈R),当x∈(-2,0]时,f(x)=-x(2+x),当x∈[2,+∞)时,f(x)=(x-2)(a-x)(a∈R).
关于偶函数f(x)的图象G和直线l:y=m(m∈R)的3个命题如下:
①当a=4时,存在直线l与图象G恰有5个公共点;
②若对于∀m∈[0,1],直线l与图象G的公共点不超过4个,则a≤2;
③∀m∈(1,+∞),∃a∈(4,+∞),使得直线l与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】选D.①当a=4时,偶函数f(x)(x∈R)的图象如下:
存在直线l,如y=0与图象G恰有5个公共点,故①正确;②若对于∀m∈[0,1],由于偶函数f(x)(x∈R)的图象如下:
直线l与图象G的公共点不超过4个,
则a≤2,故②正确;
③∀m∈(1,+∞),偶函数f(x)(x∈R)的图象如下:
∃a∈(4,+∞),使得直线l与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等,故③正确;其中正确命题的序号是①②③.
二、填空题(每小题6分,共24分)
9.把函数y=log3(x-1)的图象向右平移12个单位,再把横坐标缩小为原来的12,所得图象的函数解析式是 .
【解析】y=log3(x-1)的图象向右平移12个单位得到
y=log3x-32,再把横坐标缩小为原来的12,
得到y=log32x-32.故应填y=log32x-32.
答案:y=log32x-32
10.(2021·宁波模拟)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a的值是 .
【解析】令x+1=0得x=-1,令x-a=0得x=a,
由两零点关于x=1对称,得a-12=1,所以a=3.
答案:3
【加固训练】已知函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且f(x+1)为偶函数,则实数a的值可以是( )
A.23 B.2 C.4 D.6
【解析】选B.由于函数f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称,所以区间(3-2a,a+1)关于x=1对称,所以3-2a+a+12=1,即a=2,所以选B.
11.已知函数f(x)=12x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:
①h(x)的图象关于原点对称;
②h(x)为偶函数;
③h(x)的最小值为0;
④h(x)在(0,1)上为减函数.
其中正确命题的序号为 (将你认为正确的命题的序号都填上).
【思路点拨】依据已知作出函数h(x)的图象,数形结合求解.
【解析】g(x)=log12x,所以h(x)=log12(1-|x|),
所以h(x)=log12(1+x),-1<x≤0,log12(1-x),0<x<1,
得函数h(x)的大致图象如图,故正确命题序号为②③.
答案:②③
12.(力气挑战题)已知函数f(x)=1+4x,x≥4,log2x,0<x<4.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 .
【解析】当x≥4,f(x)=1+4x单调递减,且1<1+4x≤2,当0<x<4时,f(x)=log2x单调递增,且f(x)=log2x≤2,所以要使方程f(x)=k有两个不同的实根,如图知则有1<k<2.
答案:(1,2)
三、解答题(每小题14分,共28分)
13.已知函数f(x)=3-x2,x∈[-1,2],x-3,x∈(2,5].
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象.
(2)写出f(x)的单调递增区间.
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.
【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].
(3)由图象知当x=2时,f(x)min=f(2)=-1,
当x=0时,f(x)max=f(0)=3.
【加固训练】已知函数y=f(x)同时满足以下五个条件:
(1)f(x+1)的定义域是[-3,1].
(2)f(x)是奇函数.
(3)在[-2,0)上,f′(x)>0.
(4)f(-1)=0.
(5)f(x)既有最大值又有最小值.
请画出函数y=f(x)的一个图象,并写出相应于这个图象的函数解析式.
【解析】本题答案不惟一.由(1)知,-3≤x≤1,-2≤x+1≤2,故f(x)的定义域是[-2,2].
由(3)知,f(x)在[-2,0)上是增函数.
综合(2)和(4)知,f(x)在(0,2]上也是增函数,且f(-1)=f(1)=0,f(0)=0.
故函数y=f(x)的一个图象可以如图所示,与之相应的函数解析式是
f(x)=x+1,-2≤x<0,0,x=0,x-1,0<x≤2.
14.利用函数图象争辩方程|1-x|=kx的实数根的个数.
【解析】在同一坐标系中画出y=|1-x|,y=kx的图象.由图象可知,当-1≤k<0时,方程没有实数根;
当k=0或k<-1或k≥1时,方程只有一个实数根;当0<k<1时,方程有两个不相等的实数根.
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