【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-6.docx

第十章 10.6 第6课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　B.
C. D．1－
答案　D
解析　S扇形＝πR2＝π，S△＝×2×2＝2，S阴影＝S扇形－S△＝π－2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P＝＝1－.
2．在集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素，能使不等式＋－1≤0成立的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝4所围成的长为5、宽为4的矩形，而不等式＋－1≤0和集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为＝.
3.

如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成的如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能 )，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　S矩形OABC＝2π，S阴影＝sinxdx＝2，
由几何概型概率公式得P＝＝.
4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件为大事A，则大事A发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知，大事A所对应的线性约束条件为，其对应的可行域如图中阴影部分所示，所以大事A的概率P(A)＝＝，选C.

5．已知实数a满足－3<a<4，函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则(　　)
A．P1>P2 B．P1＝P2
C．P1<P2 D．P1与P2的大小不确定
答案　C
解析　若f(x)的值域为R，则Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.
故P1＝＋＝.
若f(x)的定义域为R，则Δ2＝a2－4<0，得－2<a<2
故P2＝.∴P1<P2.
二、填空题
6．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0使f(x0)≤0的概率为________．
答案　0.3
解析　如图，在[－5,5]上函数的图象与x轴交于两点(－1,0)，(2,0)，而x0∈[－1,2]，那么f(x0)≤0.

所以P＝＝＝0.3.
7．在区间(0,2)内任取两数m，n(m≠n)，则椭圆＋＝1的离心率大于的概率为________．
答案　
解析　如图，m，n的取值在边长为2的正方形中．

当m>n时，椭圆离心率e＝＝，
由e>，得m>2n.
同理，当m<n时，n>2m.
故满足条件的m，n为图中阴影部分．所求概率P＝＝.
8．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.其中实数a、b满足则函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率是________．
答案　
分析　这个概率就是函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数时点(a，b)在已知区域中所占有的面积和已知区域的面积之比．
解析　

函数f(x)＝ax2－4bx＋1在[1，＋∞)单调递增的充要条件是≤1，即b≤.作出平面区域如图所示，问题等价于向区域OAB中任意掷点，点落在区域OAC(其中点C的坐标是(，))中的概率，这个概率值是＝.
9．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝30°，则该菱形内的点到菱形的顶点A，B的距离均不小于1的概率是________．
解析　

如图所示，只有当点位于图中的空白区域时，其到A，B的距离才均不小于1，菱形的面积为2×2×sin30°＝2，两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆，其面积为，故空白区域的面积为2－，所求的概率是＝＝1－.
10．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
解析　满足条件的点在半径为a的球内，所以所求概率为p＝＝.
11．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程x＝－2a－有实根的概率为________．
答案　

解析　方程x＝－2a－即x2＋2ax＋ab＝0若方程有实根，则有Δ＝4a2－4ab≥0，即b≤a，其所求概率可转化为几何概率，如图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比．∴P＝.
12．周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷一点，则点落在△OAB内的概率是__________．
答案　sin2
解析　设扇形周长为m，半径为r，则弧长l＝m－2r，扇形的面积是rl＝r(m－2r)≤·()2＝，当且仅当r＝时等号成立，此时扇形的弧长为，故此时扇形的圆心角为＝2弧度，点落在△OAB内的概率是＝sin2.
三、解答题
13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)假如甲船和乙船的停靠的时间都是4小时 ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)假如甲船的停靠时间为4小时，乙船的停靠时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
解析　

(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.
作出区域

设“两船无需等待码头空出”为大事A，
则P(A)＝＝.
(2)当甲船的停靠时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4，

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为大事B，画出区域
.
P(B)＝
＝＝.
14．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a，b)是区域内随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解析　(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－1，
若a＝2，则b＝－1,1，
若a＝3，则b＝－1,1
∴大事包含基本大事的个数是1＋2＋2＝5.
∴所求大事的概率为＝.
(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间 [1，＋∞)上为增函数，
依条件事知试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|}
构成所求大事的区域为三角形部分．
由得交点坐标为(，)．
∴所求大事的概率为P＝＝.
15．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：
所表示的平面区域内的概率．
解析　(1)记“复数z为纯虚数”为大事A.
∵组成复数z的全部状况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，.－2＋2i,0，i,2i，
且每种状况毁灭的可能性相等，属于古典概型，
其中大事A包含的基本大事共2个：i,2i，
∴所求大事的概率为P(A)＝＝.
(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|}内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.
而所求大事构成的平面区域为
{(x，y)|}，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．

又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，
∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝.
∴所求大事的概率为P＝＝＝.

老师备选题

1．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　

如图所示，这是长度型几何概型问题，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为P＝.
2．将长为l的棒随机折成3段，求3段构成的三角形的概率．
解析　设A＝“3段构成三角形”x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y.
则试验的全部结果可构成集合
Ω＝{(x，y)|0<x<l,0<y<l,0<x＋y<l}，
要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，

即x＋y>l－x－y⇒x＋y>，
x＋l－x－y>y⇒y<，
y＋l－x－y>x⇒x<.
故所求结果构成的集合
A＝{(x，y)|x＋y>，y<，x<}．
由图可知，所求概率为
P(A)＝＝＝.
3．在区间[0,2]内任取两个数a，b，那么函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为________．
答案　
解析　依题意，方程x2＋ax＋b2＝0无零点，则有Δ＝a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b) <0.在平面直角坐标系aOb内画出不等式组　①与　②表示的平面区域，留意到不等式组①表示的平面区域的面积是4，不等式组②表示的平面区域的面积是22－×2×1＝3，因此所求的概率为.