(北师大版)数学必修1同步测试：第4章测试题.docx

第四章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是(　　)
A．0　　　　　 B．1
C．2 D．3
[答案]　D
[解析]　由于函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．
2．函数y＝x的零点是(　　)
A．0 B．(0,0)
C．(1,0) D．1
[答案]　A
[解析]　函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A.
3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,4)
[答案]　B
[解析]　若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，
又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B.
4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　由于f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．
5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝(　　)
A．0 B．2
C．4 D．无法推断
[答案]　C
[解析]　由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．
∴x1＋x2＝4.
6．夏季高山温度从山脚起每上升100米，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为(　　)
A．1750米 B．1730米
C．1700米 D．1680米
[答案]　C
[解析]　设从山脚起每上升x百米时，温度为y摄氏度，依据题意得y＝26－0.7x，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x＝17(百米)，
∴山的相对高度是1 700米．
7．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝2x＋3x，∴f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，故选B.
8．已知函数f(x)的图像是连续不断的，x、 f(x)的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间为(　　)
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
[答案]　C
[解析]　由图表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，
f(5)<0.故选C.
9．若方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m的取值范围是(　　)
A．(－5，－4] B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4]
[答案]　A
[解析]　考查函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．

由图可知，
即
∴－5<m≤－4.故选A.
10．某商品零售价2021年比2022年上涨25%，欲把握2022年比2022年只上涨10%，则2022年应比2021年降价(　　)
A．15% B．12%
C．10% D．50%
[答案]　B
[解析]　1＋10%＝(1＋25%)(1－x%)，解得x＝12.
11．设二次函数f(x)＝x2－x＋a，若f(－t)<0，则f(t＋1)的值(　　)
A．是正数 B．是负数
C．是非负数 D．正负与t有关
[答案]　B
[解析]　由于f(t＋1)＝(t＋1)2－(t＋1)＋a＝t2＋t＋a，f(－t)＝t2＋t＋a，
又∵f(－t)<0，所以f(t＋1)为负数．
12．(2022·湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
[答案]　D
[解析]　令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，
∴f(x)＝－x2－3x(x<0)，
∴f(x)＝.
∴g(x)＝.
当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
当x<0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－，
∴函数g(x)的零点的集合为{－2－，1,3}．
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝(x2－3)(x2－2x－3)的零点为________．
[答案]　±，3，－1
[解析]　令f(x)＝0，得x＝±，或x＝3，或x＝－1.
14．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．
[答案]　9m2
[解析]　设框架的一边长为xm，则另一边长为(6－x)m.
设框架面积为ym2，则y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9(0<x<6)，ymax＝9(m2)．
15．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2022个，则f(x)的零点的个数为________．
[答案]　4025
[解析]　由于f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2022个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2022个零点，又x∈R，所以f(0)＝0，因此共4025个零点．
16．(2022·福建高考)函数f(x)＝
的零点个数是________．
[答案]　2
[解析]　当x≤2，令x2－2＝0，得x＝－；
当x>0时，令2x－6＋lnx＝0，
即lnx＝6－2x，
在同一坐标系中，画出函数y＝6－2x与y＝lnx的图像如图所示．

由图像可知，当x>0时，函数y＝6－2x与y＝lnx的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
综上可知，函数f(x)有2个零点．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出：
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝x3＋1.
[解析]　(1)由于f(x)＝－8x2＋7x＋1
＝－(8x＋1)(x－1)，
令f(x)＝0，可解得x＝－或x＝1，
所以函数的零点为－和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，由于Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数解．
所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)由于f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，
令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，
解得x＝－1.所以函数的零点为－1.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋m的零点都在区间(0,2)内，求实数m的范围．
[解析]　由题意可得即，
解得0<m≤.所以实数m的取值范围是(0，]．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝

若方程f(x)＝k无实数解，求k的取值范围．
[解析]　当x≥时，函数f(x)＝lgx是增函数，
∴f(x)∈[lg，＋∞]；
当x<时，函数f(x)＝lg(3－x)是减函数，
∴f(x)∈(lg，＋∞)．故f(x)∈[lg，＋∞)．
要使方程无实数解，则k<lg.
故k的取值范围是(－∞，lg)．
20．(本小题满分12分)某公司从2004年的年产值100万元，增加到10年后2022年的500万元，假如每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)
[解析]　设每年年增长率为x，
则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5，
两边取常用对数，得
10·lg(1＋x)＝lg5，
∴lg(1＋x)＝＝(lg10－lg2)＝.
又∵lg(1＋x)＝，
∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.
∴ln(1＋x)＝×ln10＝×2.30＝0.161＝16.1%.
又由已知条件：ln(1＋x)≈x得x≈16.1%.
故每年的平均增长率约为16.1%.
21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．
[解析]　若实数a满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．
f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时a＝－eq \f(1,5)，此时f(x)＝x2－eq \f(13,5)x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0.
解得，x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．
22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建筑一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．

[分析]　解答本题可先进行分类争辩，在各种状况下列出函数关系式并求最值，然后比较得到所求解的状况．
[解析]　如图所示，设计长方形公寓分三种状况：

(1)当一顶点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，
∴S1＝SBCDB1＝5600m2.
(2)当一顶点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，
∴S2＝SAA1DE＝6 000m2.
(3)当一顶点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.
设MQ＝x(0≤x≤20)，∴MP＝PQ－MQ＝80－x.
又OA＝20，OB＝30，则＝，
∴＝，∴QB＝x，
∴MN＝QC＝QB＋BC＝x＋70，
∴S3＝SMNDP＝MN·MP＝(70＋x)·(80－x)
＝－(x－)2＋，
当x＝时，S3＝.比较S1，S2，S3，得S3最大，
此时MQ＝m，BM＝m，
故当长方形一顶点落在AB边上离B点m处时公寓占地面积最大，最大面积为m2.